¿Cómo emerge la radiación de Hawking de las sombras?

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¿Cómo emerge la radiación de Hawking de las sombras?

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Imagina que tienes un gran agujero negro, en el que dejas caer un objeto pequeño. Este objeto podría tener cualquier forma que desees, pero luego se verá como una hoja delgada, así que podemos imaginar que también comienza de esa manera. Las propiedades importantes son que es un buen absorbente opaco de radiación, es decir, es aproximadamente un cuerpo negro, y que tiene una temperatura finita. $T$ .

        \
         \
         |
 b.h.    |               []
interior |                 falling sheet
         |
         /
        / horizon

Podemos hacer suposiciones simplificadoras sobre el agujero negro: no gira y no está cargado, y es lo suficientemente grande como para que no ocurra una espaguetización de mareas fuera del horizonte.

Desde la perspectiva de la sábana que cae, no hay nada especial en el horizonte: pasa sin incidentes. Durante su recorrido, la hoja emite una cantidad finita de radiación térmica que depende de su temperatura, con potencia de reposo $P\propto T^4$ .

Para un observador externo, la información de que se ha cruzado el horizonte nunca está disponible. Un observador externo verá que el objeto que cae se acerca asintóticamente al horizonte y, finalmente, se “atasca” a una distancia infinitesimal por encima del horizonte. La cantidad finita de energía térmica que fue emitida por la hoja en su camino hacia abajo se estira en un tiempo infinito por un desplazamiento hacia el rojo cada vez mayor. Sin embargo, un espectro térmico desplazado hacia el rojo sigue siendo un espectro térmico . Un observador externo verá nuestra lámina que cae acercarse al horizonte y "congelarse" allí, tanto en el sentido de que no se mueve más como en el sentido de que la temperatura aparente disminuye para siempre, $T_\text{apparent}\to 0$ .

El agujero negro también tiene una temperatura, que va como $T_\text{h} \propto 1/M$ , y emite radiación de cuerpo negro correspondiente a esta temperatura. Esto es frío (más frío que el fondo cósmico de microondas para cualquier agujero negro que cumpla con nuestras suposiciones, por lo que el agujero negro absorbe radiación neta hasta que el universo se haya enfriado un poco más), pero es un frío finito.

Creo que esto significa que nuestro objeto que cae eventualmente debería formar una sombra similar a una mancha solar en la radiación de Hawking emitida por el agujero negro: una región de la superficie donde un observador externo ve la sombra fría del objeto que cae, en lugar de la levemente ... radiación menos fría del horizonte de sucesos:

        \
         \
         |
 b.h.    |[]
interior |  “frozen” falling sheet,
         |  apparent temperature $T_a$
         /
        / horizon, $T_h > T_a$

Después de todo, hemos estipulado que el objeto que cae es un buen absorbente de radiación y (desde nuestro punto de observación exterior) el objeto que cae permanece para siempre fuera del horizonte de sucesos. Ya hemos decidido que la temperatura aparente del objeto que cae disminuye para siempre, por lo que el contraste entre el horizonte de eventos y la "sombra" de nuestro objeto debería aumentar con el tiempo.

Sin embargo, la idea de que un objeto que cae sobre un agujero negro forma una "mancha solar" visiblemente fría hace una predicción incómoda. Un observador externo con suficiente material para arrojar podría cubrir toda la superficie del agujero negro con las sombras de los elementos arrojados recientemente. Este agujero negro no emitiría radiación térmica a su temperatura de Hawking, porque todos los fragmentos de horizonte "desnudo" habrán sido ocluidos por cosas más recientes, cosas cuya temperatura aparente está disminuyendo sin límites. Esta predicción, que podrías "pintar" un agujero negro dejando caer cosas sobre él, parece entrar en conflicto con el teorema de la falta de cabello . Pero la contrademanda, que no puedespintar el agujero negro, sugiere que las cosas que dejas caer en él eventualmente desaparecen, lo que no es consistente con el hecho de que la información sobre las cosas que cruzan el horizonte nunca llega a un observador externo.

Si se queja de que ambas temperaturas son demasiado frías para observarlas directamente, arreglemos que el objeto que arrojamos sobre el agujero negro sea su última interacción sin radiación con el universo. Eventualmente, la radiación de Hawking comenzará a disminuir la masa del agujero negro y aumentará su temperatura. Pero nuestro objeto caído aún debería estar "atascado" sobre el horizonte de eventos, su temperatura aparente solo disminuyendo, aún proyectando su sombra incluso cuando el agujero negro se evapora.

Una forma de salir del embrollo es sugerir que la percepción ( ilusoria ) del extraño del objeto que cae, que se ha "congelado" en el horizonte de eventos, se rompe en el límite de corrimiento al rojo donde $T_\text{apparent} < T_\text{horizon}$ . A medida que la temperatura aparente desciende por debajo de la temperatura de Hawking, la radiación del agujero negro supera de algún modo a la radiación del objeto que cae. Esto es probable en un sentido estadístico, aunque solo sea porque el objeto que cae eventualmente será más tenue que un área equivalente del agujero negro por un factor $(T_\text{a}/T_\text{h})^4$ . Con suficiente retraso, finalmente encontraremos ruido de disparo en la radiación de cuerpo negro del objeto que cae, donde los fotones térmicos ya no se emiten con mucha frecuencia.

Pero simplemente asumir que la radiación térmica de un objeto que cae es superada por el brillo de la radiación de Hawking no resuelve el problema de "pintar" un agujero negro con absorbentes opacos. De ahí la pregunta del título: ¿cómo sale la radiación de Hawking de detrás de un absorbente que cae sobre el agujero negro? ¿Es posible que la radiación de Hawking se emita realmente desde arriba del absorbedor y, por lo tanto, se vuelve visible cuando el objeto arrojado parece (desde afuera) para aplastarse lo suficientemente cerca del horizonte de eventos? Si es así, ¿hay realmente alguna característica del espacio-tiempo cerca del horizonte de eventos asociada con esta emisión?

(Hubo un período hace algunos años cuando la gente comenzó a hablar sobre un "cortafuegos" en el horizonte de eventos, generalmente en el contexto de la paradoja de la información del agujero negro. Cuando comencé a escribir esta pregunta, pensé que era independiente de la paradoja de la información, pero ahora no estoy tan seguro.)

Después de escribir la mayor parte de esta pregunta, encontré este archivo casi duplicado . Sin embargo, creo que romper la simetría esférica hace que el rompecabezas sea más claro, así que pregunto esto en lugar de recompensar ese.

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Respuestas (2)

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robar · Answer 1

Después de escribir la mayor parte de la pregunta, encontré esta respuesta , que dice en parte

Otra forma [de pensar en la radiación de Hawking], quizás más útil aquí, implica la longitud de onda de De Broglie. Si la longitud de onda de una partícula (no solo los fotones, por cierto) es mayor que el radio de Schwarzchild, entonces no se puede pensar que la partícula está localizada dentro del agujero negro. Hay una probabilidad finita de que se encuentre afuera. [...] De hecho, puede derivar la temperatura de Hawking correcta a partir de la longitud de onda correcta y el principio de incertidumbre, sin desplegar toda la maquinaria de la teoría cuántica de campos.

Sin haber realizado yo mismo la diligencia debida de un cálculo de muestra, esto se aplica a la presente pregunta de dos maneras diferentes.

Primero, es un mecanismo para que la imagen "congelada" del objeto que cae se disuelva en el horizonte de eventos. No solo tenemos ruido de disparo, donde los fotones del objeto que cae se emiten con poca frecuencia cuando parece enfriarse, sino que también tenemos efectos de difracción. A medida que la luz emitida por el objeto que cae se desplaza hacia el rojo a longitudes de onda mayores que el tamaño real del objeto, la difracción destruye nuestra capacidad de rastrear esa luz hasta una parte específica del objeto.

En segundo lugar, desde la otra dirección, esto significa que la radiación de Hawking del agujero negro nunca se puede rastrear hasta una parte específica del horizonte de eventos. (Eso suena como una afirmación de que, si yo fuera un relativista apropiado, sería capaz de relacionarme con el teorema sin cabello). La difracción significa que lo mejor que puedo hacer para identificar el origen de un cuanto particular de radiación de Hawking es decir que vino de un volumen de espacio aproximadamente del tamaño del agujero negro. Y además, esto rompe la suposición que hice al comienzo de mi pregunta: un objeto que es más pequeño que un agujero negro no puede ser opaco a la radiación de Hawking, porque la radiación de Hawking tiene una longitud de onda suficientemente larga para rodearlo por difracción.

Me faltaba una característica clave de la perspectiva del observador externo de un objeto que cae sobre un agujero negro. Sabía que se acercaría asintóticamente al horizonte, y allí su luz emitida se volvería más tenue y más roja. Pero no entendí hasta hoy que la difracción significaba que la imagen eventualmente también se volvería más borrosa .

De acuerdo con la calculadora de radiación de Hawking, la longitud de onda de los fotones pico del espectro de cuerpo negro de Hawking es $20.1385r_s$ . Por ejemplo, un SMBH de masa solar 1e6 tiene un radio de Schwarzschild $r_s$ de 2,95399E9 my una temperatura de 6,16871E-14 K. Los fotones pico de su espectro tienen una longitud de onda de 5,94890E10 m. Entonces, la región desde donde parece que se emite la radiación es bastante grande. Por supuesto, detectar una radiación tan fría y de baja potencia no es fácil. ;)
@ PM2Ring Para aclarar, esa es la longitud de onda en el observador lejano. Para llegar a ese lugar, la radiación debe salir de un pozo gravitacional intenso, lo que significa que se ha desplazado intensamente hacia el rojo cuando llega hasta allí. Ingenuamente, esto podría parecer que implica que un observador que cae en el agujero negro se encontraría con una radiación saliente de muy alta frecuencia, que podría ser bloqueada por una pantalla delgada. Pero esa conclusión es incorrecta, y explicar por qué es incorrecta podría ser una respuesta auxiliar interesante, aunque no cambia la conclusión de Rob (+1).
@ChiralAnomaly ¡De hecho! No mencioné el corrimiento al rojo, ya que supuse que Rob ya lo sabía. ;) Pero sería bueno si decides publicar una respuesta auxiliar.
… esto significa que la radiación de Hawking del agujero negro nunca se puede rastrear hasta una parte específica del horizonte de eventos Eso no es completamente cierto. El espectro planckiano de la radiación de Hawking tiene fotones de energías arbitrariamente altas y un número cuántico azimutal (aunque con probabilidades exponencialmente suprimidas), por lo que si el horizonte tiene características verdaderamente estáticas , como parece sugerir OP, el observador paciente puede reconstruirlas con detectores sensibles solo a fotones de longitudes de onda cortas. .

anomalía quiral · Answer 2

Este es un suplemento a la respuesta de Rob. Destaca una paradoja que se planteó en un comentario debajo de esa respuesta y luego intenta resolverla.

Paradoja

Aquí está la paradoja: según el observador lejano, la temperatura $T$ de la radiación de Hawking es $k_B T\sim \hbar c/R$ , dónde $R$ es el radio de Schwarzschild. Por lo tanto, la radiación debe tener una longitud de onda típica $\sim R$ . Sin embargo, para llegar al observador lejano, la radiación tuvo que salir de un pozo gravitatorio intenso, lo que significa que se ha desplazado intensamente hacia el rojo cuando llega al observador lejano. Por lo tanto, debe haber tenido una frecuencia extremadamente alta cuando abandonó las inmediaciones del horizonte. Ingenuamente, esto podría parecer implicar que un observador que cae en el agujero negro se encontraría con esta radiación saliente de muy alta frecuencia.

Para reforzar la paradoja, recuerde que la derivación original de Hawking de la radiación de Hawking usó la frecuencia extremadamente alta (longitud de onda corta) de los modos de salida para justificar el uso de la aproximación de óptica geométrica, que es cómo convirtió un cálculo intratable en algo manejable.

Entonces... ¿una hoja que cae encuentra radiación saliente de alta frecuencia cerca del horizonte? Si no, ¿por qué no?

Nombres para varios observadores

Hawking consideró la formación de un agujero negro por el colapso de una estrella. Usaré estos nombres para los diversos observadores de interés:

Los observadores E : son observadores inerciales en tiempos tempranos (E), mucho antes de que se forme el agujero negro, en reposo con respecto al centro de la estrella.
Los observadores L : estos son observadores casi inerciales en tiempos tardíos (L), mucho después de que se forme el agujero negro, en reposo con respecto al agujero negro y lejos del agujero negro.
Un observador H : este es un observador muy no inercial que flota (H) justo fuera del horizonte del agujero negro después de que se haya formado por completo.
Un observador F : este es un observador inercial que cae (F) radialmente hacia adentro, en algún lugar cerca del horizonte de eventos (afuera, atravesando o adentro) del agujero negro completamente formado. Este observador está cayendo junto a la delgada lámina que se describió en la pregunta.

Vacío vs radiación en QFT

Por definición, el estado de vacío (vacío) es el estado de menor energía. Y por definición, el operador de energía es el operador que genera las traslaciones de tiempo. Pero el tiempo depende del observador, y el tiempo propio de un observador dado normalmente no tiene ninguna extensión natural única para todo el espacio-tiempo, por lo que el concepto de estado de vacío hereda estas ambigüedades. Escribí más sobre esto en otra respuesta y otra respuesta más antigua y otra respuesta aún más antigua .

Más explícitamente, podemos relacionar el concepto (local y dependiente del observador) de estado de vacío con el concepto (local y dependiente del observador) de frecuencia positiva y negativa ( gr-qc/0308048 ). Considere la imagen de Heisenberg, donde toda la dependencia del tiempo la llevan los observables, y considere un campo escalar libre sin masa $\phi$ , como lo hizo Hawking. Para cada función de valor complejo $f$ que satisface la ecuación de onda (la ecuación de movimiento para un campo escalar libre sin masa), podemos definir un operador $\phi(f)$ llamado operador de modo . Estos operadores satisfacen $[\phi(f),\phi^\dagger(g)]=(f,g)$ , dónde $(f,g)$ es un producto escalar invariante de Lorentz particular de las dos funciones $f,g$ . En este contexto, $f$ y $g$ se llaman funciones modales .

Aquí está la clave: si $f$ una solución de frecuencia positiva de la ecuación de onda, entonces el operador de modo $\phi(f)$ es un operador de aniquilación : reduce la energía de cualquier estado sobre el que actúa. su adjunto $\phi^\dagger(f)=\phi(f^*)$ es un operador de creación , que aumenta la energía de cualquier estado sobre el que actúa. El estado de vacío se define como el estado de energía más baja, por lo que se puede caracterizar de manera equivalente como el estado que es aniquilado por los operadores de aniquilación. La separación en partes de frecuencia positiva y negativa (operadores de aniquilación y creación) puede ser diferente para cada observador, porque el tiempo puede ser diferente para cada observador.

el estado inicial

Dado que el "vacío" depende del observador y, por lo general, solo se define localmente, debemos tener claro cómo estamos eligiendo el estado global. En el pasado lejano, mucho antes de que la estrella colapse, la métrica del espacio-tiempo es plana. Podemos suponer que la "estrella" es inicialmente tan difusa que no causa ninguna curvatura significativa en el espacio-tiempo. En esos momentos tempranos, podemos llenar el espacio con E-observadores (definidos anteriormente) y elegir un estado que todos ellos estén de acuerdo en que está vacío, en todas partes. El hecho de que exista tal estado de vacío global es una característica especial de los observadores inerciales en el espacio-tiempo plano .

Como se explica en otras respuestas ( esta de Joe Schindler y esta mía ), es por eso que consideramos la formación de un agujero negro en lugar de considerar un agujero negro que ha existido desde siempre, aunque este último facilitaría las matemáticas. .

Radiación de Hawking

Una función de modo $f$ es una solución de la ecuación de onda. En el espacio-tiempo dinámico de una estrella que colapsa, una solución de la función de onda que inicialmente es de frecuencia puramente positiva según los observadores E termina teniendo partes de frecuencia tanto positiva como negativa según los observadores L. Entonces, incluso si el estado inicialmente está vacío según los observadores E, termina siendo no vacío según los observadores L. Esa es la radiación de Hawking.

Aquí hay un ejemplo artificial para ilustrar cómo puede ocurrir esta mezcla de signos de frecuencia. Considere la versión de solo tiempo de la ecuación de onda:

\begin{matrix} (2) & \ddot{F} + ω^{2} F = 0, \end{matrix}

$\ddot f + \omega^2 f = 0, \tag{2}$ donde los puntos superiores denotan derivadas temporales. Si

ω

$\omega$ es una constante, entonces

f (t) = e^{i ω t}

$f(t)=e^{i\omega t}$ es una solución. Esta solución tiene frecuencia positiva para siempre. Pero ahora supongamos que

ω

$\omega$ no es constante Suponer que

\begin{matrix} (3) & ω = {\begin{cases} ω_{1} & para t < 0 \\ ω_{2} & para t > 0. \end{cases} \end{matrix}

$\omega = \begin{cases} \omega_1 & \text{ for }t<0 \\ \omega_2 & \text{ for }t>0. \end{cases} \tag{3}$ Si requerimos eso

f (t)

$f(t)$ y

\dot{f} (t)

$\dot f(t)$ ser continua, entonces una solución que es igual a

e^{i ω t}

$e^{i\omega t}$ para

t < 0

$t<0$ termina siendo igual a

a e^{i ω t} + b e^{- i ω t}

$ae^{i\omega t}+be^{-i\omega t}$ para

t > 0

$t>0$ , con

b / a = (ω_{2} - ω_{1}) / (ω_{2} + ω_{1})

$b/a=(\omega_2-\omega_1)/(\omega_2+\omega_1)$ . En palabras, como resultado del corrimiento hacia el rojo (reducción de la frecuencia), una solución que inicialmente involucraba solo frecuencia positiva termina involucrando tanto frecuencias positivas como negativas.

Hawking usó un argumento de trazado de rayos para deducir cómo una función de modo que es puramente de frecuencia positiva para un observador E puede terminar teniendo una parte de frecuencia negativa para un observador L. Parker y Toms describieron los geodésicos relevantes así, en la página 154 de la primera edición de su libro :

... las propiedades de los cuantos sin masa creados por el campo gravitatorio de un agujero negro se rigen en los últimos tiempos por las geodésicas nulas que comienzan muy lejos del cuerpo que colapsa en los primeros tiempos, se mueven hacia adentro a través del cuerpo para convertirse en geodésicas nulas salientes, y escapar del cuerpo que colapsa justo antes de que colapse dentro del horizonte de eventos del agujero negro. Estas geodésicas nulas salientes alcanzan el futuro infinito nulo... en tiempos arbitrariamente tardíos.

Los detalles no son triviales, pero los cálculos cuidadosos (revisados en la sección 2 en gr-qc/9707062 y muy bien revisados en la sección 7.3 en gr-qc/9707012 ) muestran que una onda que tenía solo frecuencias positivas según los observadores E termina involucrando frecuencias positivas y negativas según los observadores L, como resultado de su encuentro cercano con el horizonte de eventos naciente. Esto implica que los L-observadores experimentan un estado que no es su estado de vacío. Esa es la radiación de Hawking.

¿Un observador que cae encuentra radiación de alta frecuencia?

El cálculo de Hawking comparó las experiencias de los observadores E y L. Para abordar la paradoja, debemos comparar las experiencias de los observadores E y los observadores F (hoja delgada que cae). Necesitamos considerar los modos que tienen una frecuencia positiva según los observadores E y determinar si terminan o no con partes significativas de frecuencia negativa según el observador F. Citaré un par de resultados de la literatura.

El artículo de Unruh , el que introdujo lo que ahora llamamos el efecto Unruh, analizó el problema del observador que cae, pero para un agujero negro eterno en lugar de uno que se forma por colapso. Esta es su conclusión en la página 888:

Por lo tanto, el detector geodésico [que cae] no ve salida de partículas , pero sí ve una entrada de partículas en el agujero negro.

Su argumento utiliza un agujero negro eterno , pero no creo que eso sea esencial. Curiosamente, aunque concluye que el observador F no ve ninguna radiación saliente , el observador F supuestamente sí ve radiación entrante . La entrada clave de su argumento parece ser el fracaso de la aproximación de la óptica geométrica para longitudes de onda grandes: una onda radial saliente se refleja parcialmente hacia el agujero negro. Sin embargo, este es un efecto de gran longitud de onda, por lo que es consistente con la expectativa de que el observador F no experimente ninguna radiación de alta frecuencia.

Para confirmación adicional, la primera página en arXiv:1609.06584 dice esto:

mientras que un observador que cae no vería todas las partículas que están excitadas en este espacio-tiempo, definitivamente observará modos cuyas longitudes de onda son comparables o mayores que su radio de curvatura local. Solo aquellos modos cuya longitud de onda sea más corta que el radio de curvatura local a su alrededor permanecerían invisibles.

Estas comillas sugieren que los modos salientes de alta frecuencia no se llenan para el observador F (en una buena aproximación, para frecuencias suficientemente altas), porque no se produce una mezcla significativa de partes de frecuencia positiva y negativa al pasar de observadores E a F-observadores. Esto aborda la paradoja, al menos en el sentido débil de revelar una laguna en el argumento ingenuo de que el observador que cae encuentra radiación de alta frecuencia.

Por cierto, los modos de alta frecuencia se completan de acuerdo con el observador H flotante (como modos de alta frecuencia, aún no desplazados hacia el rojo). Eso es perfectamente consistente con la conclusión de que no están significativamente poblados de acuerdo con el observador F, incluso los observadores F y H están ubicados temporalmente en el mismo lugar. Este es el efecto Unruh, que es un fenómeno local . Compara las experiencias de dos observadores que se mueven de manera diferente en la misma parte del espacio-tiempo. Si el observador que acelera deja de acelerar, el efecto desaparece inmediatamente. Para obtener más información sobre la distinción entre los efectos Unruh y Hawking, consulte la respuesta de tparker a la preguntaIntensidad de la radiación de Hawking para diferentes observadores en relación con un agujero negro , las respuestas a la pregunta Radiación de Hawking y efecto Unruh , y el artículo gr-qc/9912119 . Para ver una perspectiva sobre la similitud entre los dos efectos, consulte hep-th/9809159 .

Una versión anterior de esta respuesta continuó diciendo esto:

La radiación de Hawking es un efecto a gran escala. Una hoja delgada que cae no puede bloquearla, porque no hay nada que bloquear: los modos salientes de alta frecuencia ni siquiera se pueblan significativamente (según el observador/hoja F) hasta que se han propagado más allá de la región cercana al horizonte, y para entonces ya están mayormente desplazados hacia el rojo.

Pero como se enfatiza en un comentario de AVS, el argumento anterior no justifica esta conclusión.

Una respuesta poderosa. Me tomará un tiempo digerir. ¡Muchas gracias!
Una pantalla delgada que cae no puede bloquearlo, porque no hay nada que bloquear: los modos salientes de alta frecuencia ni siquiera están significativamente poblados. Y con esta frase está barriendo la "paradoja" debajo de la alfombra, lo que hace que el muro de texto anterior sea irrelevante mejor. Esto es como decir que la modificación del potencial en la región clásicamente prohibida (en el sentido de QM ordinaria) no puede cambiar la tasa de tunelización porque la probabilidad de encontrar partículas aquí es muy pequeña. Los detalles de la interacción de la hoja con el campo cuántico son importantes aquí, y el argumento manual no es suficiente.
Para mí, esta pregunta parece un aspecto del "problema transplanckiano" de la radiación de Hawking, es decir, que la respuesta en principio depende del comportamiento UV para el acoplamiento de la materia que cae (que probablemente deba tratarse como un campo cuántico) y el campo cuántico siendo irradiado por el BH.
¡Gracias! Esta publicación tiene sentido para mí, aunque debo admitir que no tengo suficiente experiencia en GR o QFT para emitir un juicio al respecto.
@AVS Sí, estoy dudando. La mayor parte de mi intuición (y de mi "respuesta") se basa en la teoría del campo libre. Incluso la ecuación (1). La conclusión parece haber resistido la prueba del tiempo (no veo a nadie hoy cuestionando si la estrella que cae puede bloquear la radiación de Hawking), pero eso no justifica el razonamiento. Probablemente eliminará la respuesta, pero esperará hasta que vea este comentario.
¡Por favor, no lo borres! Al menos espera a que más personas lo lean y respondan. Pero tal vez poner un descargo de responsabilidad en la parte superior.
@ChiralAnomaly Me alegro de que la respuesta todavía esté aquí. La parte que has resaltado es la parte que menos he entendido. Pero he aprendido varias otras cosas valiosas al leerlo.

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