Derivación de la frecuencia de corte del filtro de paso bajo pasivo de segundo orden

EDITAR: Gracias a hryghr, veo que las suposiciones iniciales eran incorrectas. La magnitud de la función de transferencia no se puede encontrar de forma tan sencilla. ¡Han pasado más de diez años desde que consideré mis habilidades afiladas en este tema, y ​​los cuchillos no se vuelven más afilados en el cajón! Pero no puedo permitir que publiqué algo formalmente incorrecto, así que aquí va el segundo intento:

Derivaré la función de transferencia de la manera sucia... usando la Ley de corriente de Kirchoff (LCK) (un método muy genérico). Llamo al nodo de salida$V_{o}$, y el nodo medio$V_{x}$. Para las siguientes ecuaciones reduje la escritura escribiendo$V_{o}$en lugar de la más precisa$V_{o}(s)$:

Yo: KCL en$V_{o}$:

$$\frac{V_{o}-V_{x}}{R_{2}}+sC_{2}V_{o}=0$$

$$V_{x}=V_{o}(1+sR_{2}C_{2})$$ II: KCL en $V_{x}$:

$$\frac{V_{x}-V_{i}}{R_{1}}+\frac{V_{x}-V_{o}}{R_{2}}+sC_{1}V_{x}=0$$

Reordenando términos:

$$R_{2}(V_{x}-V_{i})+R_{1}(V_{x}-V_{o})+sR_{1}R_{2}C_{1}V_{x}=0$$

Reordenando términos:

$$V_{x}(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{2}V_{i}-R_{1}V_{o}=0$$

Sustituyendo$V_{x}$con resultado de yo:

$$V_{o}(1+sR_{2}C_{2})(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{2}V_{i}-R_{1}V_{o}+sR_{1}R_{2}C_{1}V_{o}=0$$

Recopilación de términos para$V_{o}$

$$V_{o}((1+sR_{2}C_{2})(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{1})=R_{2}V_{i}$$

Reorganizando:

$$\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R_{2}}{(1+sR_{2}C_{2})(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{1}}$$

Expansión de términos:

$$\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1}+sR_{1}R_{2}C_{2}+sR_{2}^{2}C_{2}+s^{2}R_{1}R_{2}^{2}C_{1}C_{2}-R_{1}}$$

$R_{1}$cancela, luego divide por$R_{2}$arriba y abajo:

$$\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{1}{1+sR_{1}C_{1}+sR_{1}C_{2}+sR_{2}C_{2}+s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}$$

Embellecido, la función de transferencia es:

$$H(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{1}{s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}+s(R_{1}C_{1}+R_{1}C_{2}+R_{2}C_{2})+1}$$

Este es probablemente un buen lugar para comenzar a convertir a la forma estándar que menciona hryghr. Puede ser que la frecuencia de esquina solicitada se relacione con ese formulario. No me molestaré mucho con eso, pero continúe para encontrar el punto de -3dB.

La magnitud de la función de transferencia se puede encontrar, por ejemplo, calculando:

$$\left|H(\omega)\right|=\sqrt{H(s\rightarrow j\omega)H(s\rightarrow-j\omega)}$$

Configuración$A=R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}$y$B=(R_{1}C_{1}+R_{1}C_{2}+R_{2}C_{2})$para simplificar este cálculo:

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{((j\omega)^{2}A+(j\omega)B+1)((-j\omega)^{2}A+(-j\omega)B+1)}}$$

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{(-\omega{}^{2}A+j\omega B+1)(-\omega{}^{2}A-j\omega B+1)}}$$

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{\omega{}^{4}A^{2}-\omega{}^{2}A(j\omega B-j\omega B+1+1)+\omega^{2}B^{2}+(j\omega B-j\omega B)+1}}$$

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{\omega{}^{4}A^{2}+\omega{}^{2}(B^{2}-2A)+1}}$$

Hallazgo$B^{2}-2A$te da algo como:

$$R_{1}^{2}(C_{1}+C_{2})^{2}+C_{2}^{2}(2R_{1}R_{2}+R_{2}^{2})$$

Luego, para encontrar el punto de -3dB, comience en:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{\omega{}^{4}A^{2}+\omega{}^{2}(B^{2}-2A)+1}}$$

$$2=\omega{}^{4}A^{2}+\omega{}^{2}(B^{2}-2A)+1$$

Hasta ahora lo he hecho todo a mano (espero que no haya errores), pero aquí termino, pruebo mathematica y obtengo$\omega$para la frecuencia -3dB como:

$$w\to\sqrt{\frac{1}{A}-\frac{B^{2}}{2A^{2}}+\frac{\sqrt{8A^{2}-4AB^{2}+B^{4}}}{2A^{2}}}$$

Mucha gente confunde la frecuencia natural con la frecuencia de corte. La frecuencia natural es la frecuencia a la que el sistema quiere oscilar. La frecuencia de corte (o -3dBfreq) es justo cuando la función de transferencia tiene una magnitud de0.707

Si los dos polos del filtro no están juntos, los términos canónicos de segundo orden como la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento comienzan a perder significado práctico. Si los polos están muy juntos, la frecuencia natural tenderá a estar cerca de la -3dBfrecuencia pero no exactamente.

La ecuación que sigues viendo

$$f_{n} = \dfrac{1}{(2\pi*\sqrt{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}})}$$

es para la frecuencia natural. Si resuelve el factor de amortiguamiento, también verá que es

$$d= \dfrac{\dfrac{(C_{1}R_{1}+C_{2}R_{1}+C_{2}R_{2})}{2}}{\sqrt{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}$$

Está intentando definir en una ecuación cuál -3dBes la frecuencia, por lo que debe establecer la función de transferencia en igual -3dBy simplemente resolver la frecuencia que resulta. El problema con eso es que las matemáticas se van a poner muy feas muy rápido. Miré esto una vez hace unos años y encontré esta relación.

$$f_{c} = f_{n} * \sqrt{1-2d^2 + \sqrt{4d^4-4d^2+2}}$$

dónde$f_{c}$es el$-3dB$frecuencia.

Entonces, para un ejemplo, si toma:

$\begin{cases} R_1 = 10k\Omega \\ R_2 = 40k\Omega \\ C_1 = 0.1µF \\ C_2 = 0.01µF \end{cases}$

Obtendrá los siguientes números:

$\begin{cases} f_n = 251.6Hz \\ d = 1.186 \\ f_c = 127.7Hz \end{cases}$

También puede encontrar los polos que son 458.8Hzy 138.02Hz, por lo que la 3dBfrecuencia está bastante cerca del primer polo. Descubrirá que si desliza ese segundo polo más y más, la 3dbfrecuencia estará bastante cerca del primer polo.

Espero que ayude.

En mi opinión, esta frecuencia de 'corte' no se define como el punto -3dB. La función de transferencia real es:

$$H(s)=\frac{1}{s^2R_1R_2C_1C_2+s(R_1C_1+R_1C_2+R_2C_2)+1}$$

La 'forma común' de un elemento de segundo orden en la teoría de control es

$$W(s)=\frac{1}{\frac{s^2}{\omega_n^2}+2\frac{\xi}{\omega_n}s+1}$$ , dónde $\xi$es el coeficiente de amortiguamiento y $\omega_n$es la frecuencia natural. Si desea expresar la frecuencia natural de $H(s)$, encontrarás que es igual a $\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}$.

Si bien la respuesta de HKOB realmente parece razonable incluso al evaluar la función de transferencia correcta, MATLAB me mostró (usando diferentes valores arbitrarios de R y C) que la frecuencia de 'corte' calculada ni siquiera está cerca del punto -3dB en los diagramas de Bode.

Resolver un circuito simple de segundo orden como este requiere algunas líneas obtenidas al inspeccionar el circuito. Así funcionan las Técnicas de Circuitos Analíticos Rápidos o FACTs descritas en "Funciones de Transferencia de Circuitos Lineales: una introducción a FACTs". bien, empieza con$s=0$: eliminar todas las mayúsculas. La ganancia de CC$H_0$es 1. El denominador se obtiene configurando la fuente de entrada$V_{in}$a 0 V (sustituirlo por un cortocircuito). Luego, "mira" la resistencia que ofrece el capacitor$C_1$cuando el y$C_2$se eliminan temporalmente del circuito. Luego "mira" la resistencia que ofrece el capacitor$C_2$cuando el y$C_1$se eliminan temporalmente del circuito. Verás"$R_1$en el primer caso y la suma de$R_1$y$R_2$en el segundo caso. Tienes las dos constantes de tiempo del circuito:

$\tau_1=C_1R_1$y$\tau_2=C_2(R_1+R_2)$

Luego, establezca$C_1$en su estado de alta frecuencia (sustituirlo por un corto) y "mirar" la resistencia que ofrece$C_2$en este modo. Verás"$R_2$:

$\tau_{12}=C_2R_2$

Esto es todo, ya tienes tu denominador.$D(s)$igual a

$D(s)=1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2(\tau_1\tau_{12})=1+s(R_1C_1+C_2(R_1+R_2))+s^2C_1C_2R_1R_2$

Si consideramos la baja$Q$aproximación ($Q$es mucho menor que 1), entonces podemos demostrar que el denominador se puede expresar como dos polos en cascada:

$\omega_{p1}=\frac{1}{R_1C_1+C_2(R_1+R_2)}\,\omega_{p2}=\frac{R_1C_1+C_2(R_1+R_2)}{C_1C_2R_1R_2}$

Si$C_1$o$C_2$están en cortocircuito individualmente o todos juntos, no hay respuesta de salida: este circuito no presenta ceros. La función de transferencia completa es por lo tanto

$H(s)=\frac{1}{1+s(R_1C_1+C_2(R_1+R_2))+s^2C_1C_2R_1R_2}\approx\frac{1}{(1+\frac{s}{\omega_{p1}})(1+\frac{s}{\omega_{p2}})}$

Ahora suponga que sondea$V_{out}$al otro lado de$C_1$partida$R_2$y$C_2$en su lugar, el denominador sigue siendo el mismo (las constantes de tiempo no cambian) pero introduce un cero ubicado en$\frac{1}{R_2C_2}$.

Esas son las alegrías de los FACT: en algunos casos, solo inspeccionar el circuito (sin álgebra) es la forma más rápida de hacerlo. Vea esta presentación impartida en APEC el año pasado http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Downloads/PPTs/Chris%20Basso%20APEC%20seminar%202016.pdf