Lagrangiano de un potencial efectivo

Question

Lagrangiano de un potencial efectivo

aarón salvaje

Si hay un sistema, descrito por un Lagrangiano $\mathcal{L}$ de la forma

\begin{matrix} (1) & L = T - V = \frac{metro}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2}) + \frac{k}{r}, \end{matrix}

$\mathcal{L} = T-V = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2\right) + \frac{k}{r},\tag{1}$

dónde $T$ es la energía cinética y $V$ la energía potencial, también es posible definir la energía total $E$ del sistema

\begin{matrix} (2) & mi = T + V = \frac{metro}{2} ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2}) - \frac{k}{r} . \end{matrix}

$E = T + V =\frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2\right) - \frac{k}{r}.\tag{2}$

Si el momento angular $M$ es definido por

\begin{matrix} (3) & METRO = metro r^{2} \dot{ϕ}, \end{matrix}

$M = m r^{2} \dot{\phi},\tag{3}$ entonces

E

$E$ Se puede escribir como

\begin{matrix} (4) & mi = \frac{metro}{2} {\dot{r}}^{2} + \underset{V_{efecto} (r)}{\underset{⏟}{\frac{{METRO}^{2}}{2 metro r^{2}} - \frac{k}{r}}}, \end{matrix}

$E = \frac{m}{2}\dot{r}^2 + \underbrace{\frac{M^2}{2mr^2}-\frac{k}{r}}_{V_\textrm{eff}\left(r\right)},\tag{4}$

donde los dos últimos términos se escriben como potencial nuevo, "efectivo" $V_\textrm{eff}\left(r\right)$ .

Además, usando la definición de $M$ , el lagrangiano $\mathcal{L}$ Se puede escribir como

\begin{matrix} (5) & L = \frac{metro}{2} {\dot{r}}^{2} + \underset{- V_{efecto} (r)}{\underset{⏟}{\frac{{METRO}^{2}}{2 metro r^{2}} + \frac{k}{r}}}, \end{matrix}

$\mathcal{L} = \frac{m}{2}\dot{r}^2 + \underbrace{\frac{M^2}{2mr^2}+\frac{k}{r}}_{-V_\textrm{eff}\left(r\right)},\tag{5}$

donde el signo de $V_\textrm{eff}\left(r\right)$ se ha cambiado, desde $\mathcal{L} = T-V$ . Pero a partir de este argumento, parece que hay dos posibles formas diferentes de construir el mismo potencial efectivo. Esto me parece contradictorio. ¿Dónde está mi error?

qmecanico

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Respuestas (2)

Lagrangiano de un potencial efectivo

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qmecanico · Answer 1

La razón subyacente del argumento defectuoso de OP es que un uso prematuro de EOM en el principio de acción estacionaria
$\begin{matrix} (A) & \begin{aligned} S = & \int d t L (r, \dot{r}; θ, \dot{θ}), \\ L (r, \dot{r}; θ, \dot{θ}) = & \frac{1}{2} metro ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) - V (r), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S~=~&\int\!dt ~L(r,\dot{r};\theta,\dot{\theta}), \cr L(r,\dot{r};\theta,\dot{\theta})~=~&\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) -V(r),\end{align}\tag{A}$ invalida el principio variacional, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Concretamente, OP está logrando el Lagrangiano incorrecto (5) al eliminar la coordenada angular del Lagrangiano original (1) a través del hecho de que el momento angular (3) es una constante de movimiento (que es el EOM para la coordenada angular).
Ahora, para el ejemplo de OP, resulta que se puede realizar una reducción correcta a través de la formulación hamiltoniana.
$\begin{matrix} (B) & H (r, {pag}_{r}; θ, {pag}_{θ}) = \frac{{pag}_{r}^{2}}{2 metro} + \frac{{pag}_{θ}^{2}}{2 metro r^{2}} + V (r) . \end{matrix}$ $H(r,p_r;\theta,p_{\theta}) ~=~\frac{p_{r}^2}{2m}+ \frac{p_{\theta}^2}{2mr^2} + V(r). \tag{B}$ Tenga en cuenta que el momento canónico $p_{\theta}$ (que es el momento angular) es una constante de movimiento porque $\theta$ es una variable cíclica.
A continuación, reinterpretamos el sistema (B) en un marco giratorio que sigue a la partícula con fuerzas ficticias y solo cinemática radial 1D. El hamiltoniano (B) se convierte en
$\begin{matrix} (C) & H (r, {pag}_{r}) = \frac{{pag}_{r}^{2}}{2 metro} + V_{C F} (r) + V (r), \end{matrix}$ $H(r,p_r)~=~\frac{p_r^2}{2m}+ V_{\rm cf}(r)+ V(r), \tag{C}$ dónde $\begin{matrix} (D) & V_{C F} (r) := \frac{{pag}_{θ}^{2}}{2 metro r^{2}} \end{matrix}$ $V_{\rm cf}(r)~:=~\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2} \tag{D}$ es un potencial centrífugo en un mundo radial 1D, cf. mi respuesta Phys.SE aquí . Por lo tanto, el sistema hamiltoniano (C) tiene efectivamente solo un grado de libertad radial.
Finalmente, realice una transformación de Legendre en el Hamiltoniano (C) para obtener el sistema Lagrangiano 1D correspondiente:
$\begin{matrix} (MI) & L (r, \dot{r}) = \frac{metro}{2} {\dot{r}}^{2} - V_{C F} (r) - V (r) . \end{matrix}$ $L(r,\dot{r})~=~\frac{m}{2 }\dot{r}^2\color{Red}{-}V_{\rm cf}(r)-V(r).\tag{E}$ Tenga en cuenta el signo menos crucial marcado en rojo. Se puede comprobar que la correspondiente EL eq. porque (E) es la EOM correcta.
El Lagrangiano (E) es menos Routhiano , cf. esta publicación Phys.SE.

¡Gracias! Tengo una pregunta adicional, entiendo que se produce la invalidación pero ¿por qué? ¿Por qué el uso de ecuaciones de movimiento conduce a una lagrangiana incorrecta? Pensaría que esto fue solo un cambio de coordenadas.

Blazej · Answer 2

El potencial efectivo se define mediante la fórmula $E=T_{radial}+V_{eff}(r)$ . Tu cálculo muestra que una vez que haces esta identificación no es cierto que $\mathcal L = T_{radial}-V_{eff}$ , pero eso está bien. Esto sucede porque el término centrífugo (es decir, el que tiene momento angular) es realmente un término cinético y no un verdadero potencial. Por lo tanto, debe ingresar al Lagrangiano con signo más, a diferencia de los potenciales "reales".

Lagrangiano de un potencial efectivo

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