¿Cómo se puede resolver esta "paradoja"? Potencial central

El problema general es que no puedes conectar tus ecuaciones de movimiento en el Lagrangiano e ingenuamente esperar obtener las mismas ecuaciones de movimiento nuevamente. ¿Por qué no? Veamos su ejemplo específico.

Para la historia habitual comenzamos con

$$L = \frac12 m (\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) - V(r) .$$ Encontramos que el momento angular, definido por $\ell=m r^2\dot\theta$, se conserva por lo que la ecuación de movimiento para la coordenada radial es $$m \ddot r - \frac{\ell^2}{m r^3} + \frac{\partial V}{\partial r} = 0.$$

Ahora, quieres enchufar$\ell$de vuelta al lagrangiano. Si hacemos eso tenemos

$$L = \frac12 m \left( \dot r^2 + \frac{\ell^2}{m^2 r^2} \right) - V(r).$$ Ingenuamente, si calculamos la ecuación de movimiento a partir de este Lagrangiano, obtendremos el signo opuesto para el $\ell^2/m r^3$término. ¡Esto no es correcto!

Recuerda que cuando llamamos$\ell$una cantidad conservada queremos decir que es una constante en el tiempo , es decir$\dot\ell=0$. Explícitamente escribiendo las ecuaciones de Euler-Lagrange tenemos

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \left( \frac{\partial L}{\partial\dot r} \right)_{r,\theta,\dot\theta} \right] - \left( \frac{\partial L}{\partial r} \right)_{\dot r,\theta,\dot\theta} = 0.$$ Aquí he incluido el recordatorio de que cuando tomamos derivadas parciales queremos decir que "todo lo demás" se mantiene constante y qué es ese "todo lo demás". Para el problema en cuestión tenga en cuenta que $$\frac{\partial\ell}{\partial r} = \frac{2\ell}{r} \ne 0$$ por lo que no es una constante general. Teniendo esto en cuenta, obtenemos la ecuación de movimiento correcta (como debemos).

Craig J Copi ya ha dado una respuesta correcta. Aquí daremos otra respuesta basada en la formulación hamiltoniana.

1. Recuerde que el Lagrangiano de una partícula puntual no relativista en un potencial central en un plano 2D se lee en coordenadas polares

   $$L~=~\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) - V(r).$$ Aquí el potencial centrífugo$V_{\rm cf}=-\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2<0$es negativo! Tenga en cuenta que el potencial centrífugo$V_{\rm cf}$favorece (= se minimiza para) una posición radial grande$r\to \infty$, como cabría esperar. Ver también esta publicación de Phys.SE.

2. Los momentos son entonces

   $$p_{r}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~m\dot{r}$$ y $$p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~mr^2\dot{\theta}.$$ La posición angular$\theta$es una variable cíclica, por lo que el momento conjugado$p_{\theta}$(=el momento angular) es una constante de movimiento.

3. Ahora deduzca que el hamiltoniano es

   $$H~=~\frac{p_{r}^2}{2m}+\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+ V(r).$$ Aquí el potencial centrífugo$V_{\rm cf}=\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}>0$¡es positivo! Tenga en cuenta que el potencial centrífugo$V_{\rm cf}$favorece (= se minimiza para) una posición radial grande$r\to \infty$, como cabría esperar.