¿Por qué son estos bucles independientes?

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Según mi libro de texto, abca con una resistencia de 2 ohmios es independiente. Un segundo bucle con resistencia de 3 ohmios y la fuente de corriente es independiente. El tercer bucle, con una resistencia de 2 ohmios en paralelo con una resistencia de 3 ohmios, también es independiente.

Ahora, la definición de un bucle independiente es un bucle que contiene una rama que no forma parte de ningún otro bucle independiente.

Tomemos el primer bucle, abca con una resistencia de 2 ohmios. Digamos que la rama única es una resistencia de 2 ohmios. ahora también se dice que bc con resistencias paralelas de 3 y 2 ohmios es independiente. pero este último contiene la resistencia de 2 ohmios, lo que significa que la resistencia de 2 ohmios no es exclusiva de un bucle después de todo. Lo mismo ocurre con la fuente de corriente y el bucle de resistencia de 3 ohmios, 3 ohmios tampoco es único.

Entonces, de acuerdo con la definición, ¿por qué estos tres bucles son independientes?

Creo que, si su libro está en inglés (o tal vez también si no lo está), una cita textual del texto podría ser útil para determinar lo que significan. En principio, su análisis personal tiene razón en que el esquema tiene muchas interacciones, pero tal vez el libro signifique algo más en contexto que tenga que ver con el análisis de voltajes y corrientes.
Probablemente cuando dicen "independientes", se refieren a bucles que, cuando se escriben las ecuaciones KVL, producen un conjunto de ecuaciones linealmente independientes . Debería ser lo mismo que Wikpedia llama mallas esenciales . Pero la definición de Wiki es "bucles que no contienen ningún otro bucle", lo que haría que los tres bucles propuestos fueran "esenciales".
Creo que se necesita una pequeña modificación en la definición... un bucle independiente es un bucle que no tiene ningún otro bucle dentro.

Respuestas (4)

Ahora, la definición de un bucle independiente es un bucle que contiene una rama que no forma parte de ningún otro bucle independiente.

Si un bucle tiene una rama que no forma parte de ningún otro bucle, eso garantiza la independencia, pero no creo que sea necesario. (Matemáticamente, es suficiente pero no necesario ).

En el análisis de mallas, intenta resolver un sistema de ecuaciones. Para eso, necesitas una ecuación por variable. Pero las ecuaciones deben ser linealmente independientes : si puedes hacer una ecuación sumando, restando y/o multiplicando las otras ecuaciones, no cuenta. Por ejemplo:

X + y = 5
2 X + 2 y = 10

La segunda ecuación se puede producir duplicando todos los valores de la primera ecuación. Esto no le brinda ninguna información nueva, por lo que no puede resolver x e y. Pero en este ejemplo:

X + y = 5
X + 2 y = 7

no puedes obtener la segunda ecuación manipulando la primera. Entonces puedes encontrar la solución: x = 3 y y = 2.

Vuelta a los circuitos. Su sistema tiene tres variables: las corrientes de malla I L (a la izquierda), I METRO (en el medio), y I R (A la derecha). Aquí están las ecuaciones, asumiendo que las corrientes de malla fluyen en el sentido de las agujas del reloj:

10 V − I L ⋅ 5 Ω − ( I L − I METRO ) ⋅ 2 Ω = 0
− ( I METRO − I L ) ⋅ 2 Ω − ( I METRO − I R ) ⋅ 3 Ω = 0
I R = − 2 A

Agrupando las variables da:

10 V − I L ⋅ 7 Ω + I METRO ⋅ 2 Ω = 0
I L ⋅ 2 Ω − I METRO ⋅ 5 Ω + I R ⋅ 3 Ω = 0
I R = − 2 A

No hay forma de que podamos hacer una de estas ecuaciones a partir de la otra. El primero tiene un término constante, el segundo no y el tercero solo nos da el valor de una variable. si sustituimos − 2 A para I R y tratar de hacer que los signos coincidan, es aún más obvio:

I L ⋅ 7 Ω − I METRO ⋅ 2 Ω − 10 V = 0
I L ⋅ 2 Ω − I METRO ⋅ 5 Ω − 6 V = 0

Las proporciones de los coeficientes y constantes son totalmente diferentes. Estas ecuaciones son linealmente independientes.

Enseño circuitos y uso el mismo libro de texto del que proviene la figura. Mis alumnos me han preguntado sobre esto y tomó un tiempo llegar a una definición sólida. La afirmación del texto "un bucle independiente es un bucle que contiene una rama que no forma parte de ningún otro bucle independiente" es ambigua y, como se dijo anteriormente, es necesaria pero no suficiente. Si sigue estrictamente esta definición, tiene razón en que puede formar el bucle izquierdo IL (abca) que deja la resistencia de 3 ohmios y la fuente de 2A. Luego puede formar el bucle IR derecho que comienza en b pasa por la fuente 2A a c y luego vuelve a b a través de la resistencia de 3 ohmios. En este punto, no hay más ramas únicas, pero no ha encontrado todos los bucles independientes.

Lo que debe agregarse a esta definición es "¿Se pueden expandir los nodos creando una rama única sin romper ningún bucle independiente? Si se crea una rama única sin romper un bucle independiente, entonces se debe formar un nuevo bucle que contenga esta rama única".

Si expande el nodo a en dos puntos (a, d), romperá el bucle izquierdo, IL. Por lo tanto, la rama única creada entre los puntos ayd debe convertirse en parte del bucle IL para que IL pueda cerrarse. No se agrega ningún bucle independiente. Si expande el nodo b en dos puntos (b, e), entonces ni el bucle izquierdo, IL, ni el bucle derecho, IR, se rompen. Esto crea una nueva rama entre los puntos b y e que debe ser parte de un nuevo bucle independiente, IM. Si luego expande el nodo c en (c,f), crea una nueva rama pero rompe el bucle IM, por lo que la nueva rama debe convertirse en parte de IM para cerrar ese bucle. Si continúa expandiendo cualquier nodo, no se forman nuevas ramas únicas y le quedan los 3 bucles independientes, IL, IM e IR.

Un bucle independiente contiene al menos una rama que no pertenece a otro bucle. Entonces, usando sus dos bucles, ABC y BC como ejemplos: ABC contiene una rama de 10V / 5 Ohm que no está en BC. BC contiene los 3 Ohm que no están en ABC, por lo tanto son independientes. Además, ABC a través de 2A/5ohm/10V contiene la fuente 2A que no está en ninguno de los dos primeros bucles, por lo que también es independiente. Esta no es la única combinación posible de tres bucles independientes necesarios para resolver el problema.

En ese libro de texto, el párrafo a continuación establece que "Es posible formar un conjunto independiente de bucles donde uno de los bucles no contiene tal rama".

Entonces, la definición dada arriba era solo una condición suficiente.

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Creo que puede declarar que un conjunto de bucles es independiente si se consideran dos bucles cualquiera del conjunto, hay al menos una rama que no es común a ambos.

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