Derivación de Boltzmann/autómata de celosía para ωt+v⋅∇ω=μΔωωt+v⋅∇ω=μΔω\omega_{t}+ v\cdot \nabla \omega=\mu \Delta \omega

Prefacio

1. Espero que estés de acuerdo con una derivación de LB (tu título sugiere que lo estás).
2. Voy a suponer que está familiarizado con los fundamentos de LB: discretización, colisión BGK, pesos$w_i$, conjunto de velocidad$\boldsymbol{e}_i$, condiciones de simetría en momentos, etc.
3. Estaré derivando la ecuación de convección-difusión usando una función de distribución$g_i$asumiendo que el campo de velocidad se deriva de una ecuación hidrodinámica a menudo descrita por una función de distribución$f_i$. Esto significa que el campo de velocidad no se sigue de$g_i$y que cualquier momento de$g_i$superiores a cero no están definidos.
4. Trato de ser breve porque incluir todos los detalles llevará mucho tiempo. Sin embargo, si algo no está claro, hágamelo saber e intentaré explicarlo haciendo modificaciones.

Introducción

La ecuación LB describe la evolución de una función de distribución$g_i$de acuerdo con la siguiente discretización especial de la ecuación de Boltzmann:

$$\frac{g_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i\Delta t, t+\Delta t)-g_i\left(\boldsymbol{x},t\right)}{\Delta t}=\Omega_i+w_i\phi\qquad\Omega_i=-\frac{g_i-g_i^{(eq)}}{\tau}$$

dónde$\Omega_i$es el operador de colisión BGK,$\phi$es un término fuente/sumidero,$\tau$es una constante de relajación y$g_i^{(eq)}$es una distribución de equilibrio que definimos como:

$$g_i^{(eq)}=w_i\rho\theta\left[1+\frac{\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{v}}{c_s^2}+\frac{1}{2}\frac{\left(\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_i-c_s^2\boldsymbol{I}\right):\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}}{c_s^4}\right]$$

en términos de cantidades macroscópicas; densidad$\rho$, variable escalar$\theta$y velocidad$\boldsymbol{v}$. Tomando momentos de$g_i^{eq}$rendimientos:

$$\sum_i g_i^{(eq)}=\rho\theta \quad \sum_i \boldsymbol{e}_i g_i^{(eq)}=\rho\theta\boldsymbol{v} \quad \sum_i \left(\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_i-c_s^2\boldsymbol{I}\right)g_i^{(eq)}=\rho\theta\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}$$

Análisis multiescala

A continuación, aplicaremos un análisis multiescala para determinar las ecuaciones continuas a partir de la ecuación discretizada. Primero convertimos la ecuación discretizada en una ecuación LB continua usando una expansión de Taylor hasta términos de segundo orden:

$$g_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i\Delta t, t+\Delta t)\approx g_i\left(\boldsymbol{x},t\right)+Dg_i\left(\boldsymbol{x},t\right)\Delta t+\frac{1}{2}D^2g_i\left(\boldsymbol{x},t\right)\Delta t^2$$ $$Dg_i+\frac{1}{2}D^2g_i\Delta t\approx\Omega_i+w_i\phi$$

dónde$D=\partial_t+\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{\nabla}$es la derivada material.

A continuación, un parámetro de pequeñez$\epsilon$se introduce lo que significa el grado en que nos alejamos del equilibrio:

$$g_i=g_i^{(eq)}+\epsilon g_i^{(neq)}=g_i^{(eq)}+\epsilon g_i^{(1)}+\epsilon^2 g_i^{(2)}$$

Aquí$(neq)$se refiere a 'falta de equilibrio', es decir, todos los términos como resultado de que el sistema esté fuera de equilibrio están contenidos aquí. Estos términos de no equilibrio se separan aún más en una escala convectiva$g_i^{(1)}$y una escala difusiva$g_i^{(2)}$.

Nota : Un sistema a bajas velocidades garantiza que siempre estamos cerca del equilibrio y es necesario para la estabilidad en BGK. A veces$\epsilon$se refiere al número de Knudsen y/o se hace equivalente a$\Delta t$, de cualquier manera debe ser pequeño.

Lo mismo se aplica a la escala temporal y espacial:

$$\partial_t=\epsilon\partial_t^{(1)}+\epsilon^2\partial_t^{(2)}\qquad\boldsymbol{\nabla}=\epsilon\boldsymbol{\nabla}^{(1)}$$

La suposición que se hace aquí es que la escala de tiempo de difusión es mucho más corta que la escala de tiempo de convección. Por otro lado, se supone que el transporte convectivo y difusivo ocurren en la misma escala espacial, por lo que solo se conservan los términos de primer orden. La derivada material se convierte en:

$$D=\epsilon D^{(1)}+\epsilon^2 D^{(2)} \qquad D^{(1)}=\partial_t^{(1)}+\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\qquad D^{(2)}=\partial_t^{(2)}$$

Asimismo, para simplificar, el operador de colisión y el término fuente se expanden de la siguiente manera:

$$\Omega_i=\epsilon\Omega_i^{(1)}+\epsilon^2\Omega_i^{(2)}\qquad \Omega_i^{(k)}=-\frac{g_i^{(k)}}{\tau}\qquad \phi=\epsilon^2 \phi^{(2)}$$

Ahora sustituimos en la ecuación LB continua donde solo los términos hasta$O\left(\epsilon^2\right)$se retienen:

$$\left(\epsilon D^{(1)} + \epsilon^2 D^{(2)}\right)\left(g_i^{(eq)}+\epsilon g_i^{(1)}\right) + \frac{1}{2}\epsilon^2D^{(1)2}g_i^{(eq)}\Delta t\approx\epsilon\Omega_i^{(1)}+\epsilon^2\Omega_i^{(2)}+\epsilon^2 w_i\phi^{(2)}$$

Recogida de pedidos equivalentes en$\epsilon$rendimientos, respectivamente:

$$O\left(\epsilon\right):\quad D^{(1)}g_i^{(eq)} = \Omega_i^{(1)}$$ $$O\left(\epsilon^2\right):\quad D^{(2)}g_i^{(eq)} + D^{(1)}g_i^{(1)} + \frac{1}{2}D^{(1)2}g_i^{(eq)}\Delta t= \Omega_i^{(2)}+w_i\phi^{(2)}$$

La última ecuación puede 'simplificarse' usando la primera:

$$D^{(2)}g_i^{(eq)} + D^{(1)}\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right] = \Omega_i^{(2)}+w_i\phi^{(2)}$$

A continuación, tomamos el momento cero de la$O\left(\epsilon\right)$ecuación:

$$\partial_t^{(1)}\sum_i g_i^{(eq)} + \nabla^{(1)}\cdot\sum_i\boldsymbol{e}_i g_i^{(eq)} = \sum_i\Omega_i^{(1)}$$ $$\partial_t^{(1)}\rho\theta + \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v} = 0$$

Ahora, tomamos el momento cero de la$O\left(\epsilon\right)$ecuación:

$$\partial_t^{(2)}\sum_i g_i^{(eq)} + \partial_t^{(1)}\sum_i\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right] + \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\sum_i\boldsymbol{e}_i\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right]= \sum_i\Omega_i^{(2)}+\sum_i w_i\phi^{(2)}$$ $$\partial_t^{(2)}\rho\theta + \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot \boldsymbol{j}^{(1)} = \phi^{(2)}$$

donde el flujo difusivo se identifica como:

$$\boldsymbol{j}^{(1)} = \sum_i\boldsymbol{e}_i\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right]$$

Esto se simplifica aún más a:

$$\begin{aligned} \boldsymbol{j}^{(1)} &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\Omega_{i}^{(1)} \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}D^{(1)}g_i^{(eq)} \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\left[\partial_{t}^{(1)}\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}g_{i}^{(eq)}+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\boldsymbol{e}_{i}g_{i}^{(eq)}\right] \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\left[\partial_{t}^{(1)}\rho\theta\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\left(\rho\theta\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}+\rho\theta c_{s}^{2}\boldsymbol{I}\right)\right] \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\left[\rho\theta\left(\partial_{t}^{(1)}\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\boldsymbol{v}\right)+\boldsymbol{v}\left(\partial_{t}^{(1)}\rho\theta+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v}\right)+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\rho\theta c_{s}^{2}\right] \\ &= -\rho \mathcal{D}\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\theta\end{aligned}$$

que puede identificarse como una ley de difusión de Fick/Fourier con una difusividad definida como:

$$\mathcal{D}=c_{s}^{2}\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)$$

Nota : De cualquier referencia de literatura LB canónica se puede encontrar que:

$$\partial_t^{(1)}\rho+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\boldsymbol{v}=0$$ $$\partial_t^{(1)}\rho\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}=-\boldsymbol{\nabla}\rho c_s^2$$ Esto se usa en la derivación anterior para simplificar la penúltima línea usando: $$\rho\left(\partial_{t}^{(1)}\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\boldsymbol{v}\right)=-\boldsymbol{\nabla}\rho c_s^2$$ Mostrarlo requeriría otro análisis similar a este en contexto y extensión, que no agrega ninguna información nueva además de este resultado. Por lo tanto, se omite el análisis.

Conclusión

Ahora combinamos el$O\left(\epsilon\right)$y$O\left(\epsilon^2\right)$escamas:

$$\epsilon\partial_t^{(1)}\rho\theta + \epsilon^2\partial_t^{(2)}\rho\theta + \epsilon \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v} + \epsilon^2 \boldsymbol{\nabla}^{(1)} \cdot \boldsymbol{j}^{(1)} = \epsilon^2 \phi^{(2)}$$ dar: $$\partial_t\rho\theta + \boldsymbol{\nabla}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho \mathcal{D}\boldsymbol{\nabla}\theta\right) + \phi$$

que es exactamente la ecuación de advección-difusión con un término fuente. Combinándolo con la ecuación de continuidad se obtiene:

$$\rho\left[\partial_t\theta + \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\theta\right] = -\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho \mathcal{D}\boldsymbol{\nabla}\theta\right) + \phi$$

que es por lo que puedo ver la ecuación que está buscando. Esto por supuesto no incluye el caso de la vorticidad porque esta es una ecuación escalar. Sin embargo, si se limita a flujos incompresibles en 2D, la vorticidad es un escalar definido por la componente z de la vorticidad. En ese caso, se puede utilizar este enfoque.