¿Cuál es un buen modelo para calcular el agua que cae sobre una superficie?

Como comenté, pensaría que cualquier código de hidrodinámica 3D funcionaría. Los conceptos básicos de la hidrodinámica se pueden resumir en las siguientes cinco ecuaciones:

$$\begin{eqnarray} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0 \tag{1} \\ \frac{\partial \rho\mathbf{v}}{\partial t}+\nabla\cdot\left[\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}+P\mathbb I\right]=\rho\mathbf{g} \tag{2,3,4} \\ \frac{\partial E}{\partial t}+\nabla\cdot\left[\left(E+P\right)\mathbf{v}\right]=\rho\mathbf{g}\cdot\mathbf{v} \tag{5} \end{eqnarray}$$ dónde $\rho$es su densidad de masa, $\mathbf{v}$la velocidad, $P=\left(\gamma-1\right)\left(E-\frac12\rho v^2\right)$es la presión del fluido (supone un gas ideal con índice adiabático $\gamma$), $\mathbb I$la matriz identidad (tensor), $E$es la energía total (interna y cinética), y $\mathbf{g}$la aceleración gravitacional. En orden, estos tres describen la conservación de la masa , la conservación del impulso y la conservación de la energía .

Dado que las computadoras son objetos discretos, definimos un volumen$dx\cdot dy\cdot dz$(generalmente$dx=dy=dz$entonces el volumen es$dx^3$, pero no es necesariamente cierto) con una posición centrada en la celda de$(x_i,\,y_j,\,z_k,\,t_n)$dónde$i,j,k,n\in \mathbb Z$. Luego, cada variable se define mediante un valor promedio de volumen:

$$\rho_{i,j,k}^n = \rho\left(x_i,\,y_j,\,z_k,\,t_n\right)$$

Entonces podemos modelar numéricamente las tres ecuaciones de conservación como (voy a usar la conservación de la masa para el ejemplo)

$$\frac{\rho^{n+1}_{i,j,k}-\rho^n_{i,j,k}}{dt}=\frac{\pi_{x;\,i+1,j,k}^n-\pi_{x;\,i-1,j,k}^n}{2dx}+\frac{\pi_{y;\,i,j+1,k}^n-\pi_{y;\,i,j-1,k}^n}{2dy}+\frac{\pi_{z;\,i,j,k+1}^n-\pi_{z;\,i,j,k-1}^n}{2dz}$$ dónde $\pi=\rho\mathbf{v}$. Lo anterior usa una diferencia directa para la derivada temporal mientras que las derivadas espaciales usan una diferencia central. Hay algunas advertencias de estabilidad con esta ecuación (por ejemplo, $dt\leq c_{s,max}dx/n_{dim}$la derivada del tiempo está limitada por la velocidad de onda máxima dividida por el número de dimensiones por la longitud de la celda), pero es bastante sencillo de implementar.

En tres dimensiones, puede resolver las ecuaciones direccionalmente (es decir,$x,\,y,\,z$resuelto de forma independiente pero alternando el orden de cada paso de tiempo) o puede combinarlos en lo que se llama "transporte de esquina" donde el flujo de decir$\pi_{i-1,j-1,k}$se tiene en cuenta para encontrar$\rho_{i,j,k}^{n+1}$. La última opción es más difícil de codificar pero proporciona una solución más precisa, mientras que la primera es bastante fácil de implementar.

Para las condiciones de contorno, querrá un límite reflectante en la superficie ($\mathbf{v}\cdot\hat{n}\to-\mathbf{v}\cdot\hat{n}$dónde$\hat{n}$es la dirección normal a la superficie) y probablemente extrapolada a cualquier otro lugar ($\rho_{I,j,k}=\rho_{I-1,j,k}$dónde$I$es el número máximo de celdas en el$x$dirección). Estos dos límites y las 5 ecuaciones anteriores deberían permitirle modelar completamente la gota de agua que choca con una superficie.

También puede agregar efectos viscosos a las Ecuaciones (2,3,4) agregando, al RHS, la divergencia del tensor de viscosidad,$\tau$:

$$\tau=\rho\nu\left[\nabla\mathbf{v}+\left(\nabla\mathbf{v}\right)^T-\frac23\mathbb I\nabla\cdot\mathbf{v}\right]$$ con $\nu$la viscosidad cinemática . Esto complica las cosas porque está introduciendo derivadas de segundo orden ( $\sim\nabla^2\mathbf v$) y la condición de estabilidad para estas ecuaciones es $dt\leq \kappa dx^2/n_{dim}$dónde $\kappa$es el coeficiente parabólico , en este caso $\nu$. Hay formas de evitar esto (por ejemplo, usando un método implícito que requiere un solucionador de matrices), pero definitivamente complica las cosas.

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Con todo esto, concluyo que tienes dos opciones:

1. escribe tu propio código 3D desde cero
2. busque en github el código de otra persona que contenga toda la física necesaria y atribuya al autor cuando y donde sea necesario

Dada la dificultad de codificar un código de hidrodinámica multidimensional (experiencia personal aquí), podría ser significativamente más fácil para usted tomar la Opción 2, pero mi única advertencia al respecto es esta: el código que encuentra y usa no es una caja negra y no debe ser tratado como tal ; debe comprender qué hace el código y por qué antes de que pueda considerar incluso ejecutar el código.

Primero un consejo: ¡no ignores el aire! La investigación en los últimos dos años ha demostrado que el aire (en particular, la presión del aire) es crucial para determinar si la gota salpica y, de ser así, cuál es la dinámica. Uno de los artículos emblemáticos en este campo es el de Weitz Group en PRL en 2012 .

Luego, a su pregunta de modelar la gota que cae y salpica. Creo que un enfoque lagrangiano para el líquido (es decir, 'partículas' fluidas) daría la simulación más realista, pero también será extremadamente costoso desde el punto de vista computacional. Por lo tanto, podría considerar métodos de volumen finito como Volume-of-Fluid , Level-Set y Front-Tracking. Es difícil darle algún consejo sobre cuál es el mejor porque depende mucho de la experiencia y los detalles de la implementación, pero puede encontrar una buena discusión en este sitio web del Institut Jean Le Rond d'Alembert .