Dependencia temporal del operador de desplazamiento

Estoy siguiendo la derivación de la ecuación maestra (y la aplicación de esto) en estas notas de clase . Desafortunadamente, no sigo el paso de eliminar los términos impulsores del oscilador armónico (p. 17, eq 164).

Supongamos que tenemos un sistema cuántico descrito en el formalismo del operador de densidad en la imagen de Schrödinger con un sistema hamiltoniano (es decir, oscilador armónico y unidad coherente):

$H = H_0 + H_D = \hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + 1/2) + \hbar f_0 (\hat{a} e^{i\omega_D t} + \hat{a}^\dagger e^{-i\omega_D t} )$

Defina el operador de desplazamiento como

$D(\alpha) = \exp(\alpha\hat{a}^\dagger - \alpha^* \hat{a})$

dónde$\hat{a}$es el operador de aniquilación de un oscilador armónico cuántico y$\alpha$es un número complejo.

Si quiero hacer una transformación unitaria$U=D(\alpha)$en un marco giratorio, entonces creo que debería hacer esta transformación:

$A' = U^\dagger A U$

y de esto debería poder derivar una nueva ecuación maestra para mi sistema, etc.

Pero en las notas de la lección parece que escriben el nuevo hamiltoniano en el marco rotado como (eq. 164):

$\tilde{H} = U^\dagger H U + i\hbar \frac{\partial U^\dagger}{\partial t} U$

dónde$U=D(\alpha)$. ¿Por qué incluir el segundo término si$D(\alpha)$no depende del tiempo (estamos en la imagen de Schrödinger según la ecuación 134)?

Si de alguna manera he entendido mal y se considera que el operador de desplazamiento depende del tiempo a través de algo como$\alpha = \alpha_0 e^{i\omega_D t}$¿Cómo se manejaría esto, es decir, cómo se demuestra que$\tilde{H}$tiene la forma anterior?

Para resumir: Cómo transformar a otro marco cuando hay una dependencia del tiempo tal que$i\hbar \frac{\partial U}{\partial t} = HU(t)$no aguanta? (Debido a la dependencia del tiempo de H)

y

¿Por qué se supone que$D(\alpha)$¿Tiene esta dependencia del tiempo en la imagen de Schrödinger?