Densidad electrónica en metales a temperatura distinta de cero

Al calcular la densidad de electrones en los metales, el resultado bruto habitual se calcula para temperatura cero. Es decir, integramos

norte = 8 2 π metro 3 / 2 h 3 ∫ 0 mi F mi d mi = 8 2 π metro 3 / 2 h 3 ( 2 3 mi F 3 / 2 ) .

Estoy buscando una estimación de densidad de electrones para temperaturas distintas de cero, pero no puedo lidiar con la siguiente integración:

norte = 8 2 π metro 3 / 2 h 3 ∫ 0 ∞ mi 1 + Exp ⁡ ( mi − mi F k B T ) d mi .

¿Me pueden ayudar con un enlace donde se solucione este problema? O simplemente un término que describe (aproxima) la densidad de electrones para temperaturas más altas. ¿Existe alguna "regla general" para los metales, por ejemplo, algún tipo de dependencia exponencial? ¿La derivación necesita un enfoque más preciso? Gracias :)

Respuestas (1)

Lo que estás buscando se llama Expansión de Sommerfeld . La integral que especifique se puede aproximar bastante bien para calcular el potencial químico (diferente a mi F cuando los electrones no están completamente degenerados) y expresiones para la densidad numérica y la densidad de energía de los electrones cuando el potencial químico (o mi F ) Es mas grande que k T , pero el gas no está completamente degenerado.

A menudo, la expansión se limita a los dos primeros términos; el segundo término es de orden ( k T / mi F ) 2 , mientras que el tercer término se desprecia porque se vuelve pequeño cuando ( k T / mi F ) 4 es pequeño.

Los detalles completos se pueden encontrar en el enlace de wikipedia , pero también una búsqueda rápida resultó en este artículo de un estudiante de un curso de la Universidad de Graz sobre Física Avanzada del Estado Sólido . Parece proporcionar una descripción muy clara y deriva las expresiones que desea para los gases de Fermi-Dirac 1, 2 y 3D.

Muchas gracias, después de un breve cálculo, la expansión de Sommerfeld agrega un término dependiente de la temperatura a la aproximación de densidad de electrones, que estaba buscando. El punto interesante es, que siempre he pensado, que la dependencia térmica resultaría lineal en lugar de cuadrática.
@Jan Hirschner Es la densidad de energía que tiene el término cuadrático adicional. Supongo que podrías pensar en esto como una fracción. ∼ k T / mi F los electrones están por encima de la región de "roll-off" en la distribución y cada uno de estos tiene ∼ k T de energía por encima mi F . La diferenciación da una capacidad calorífica que depende linealmente de T .
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