Demostrar si ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, entonces |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\left|a_n\right|

Question

Demostrar si ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, entonces |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\left|a_n\right|

Matemáticas
análisis real
valor absoluto
prueba de verificación
secuencias y series

Descafeinado-Matemáticas

probar si $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty$ , entonces $\displaystyle\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^\infty\left|a_n\right|$ .

Tras la observación inicial, parece que deberíamos utilizar la desigualdad triangular.

Mis pensamientos iniciales:

PRUEBA : Desde $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n|$ es convergente y por lo tanto acotada, entonces sabemos que la sucesión de sus sumas parciales está acotada (y que $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ converge ya que converge absolutamente, lo que implica que su secuencia de sumas parciales también es convergente y acotada). Entonces,

| \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} | = | a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots | \leq | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots = \sum_{norte = 1}^{\infty} | a_{norte} |

$\left|\sum_{n = 1}^\infty a_n\right| = |a_1 + a_2 + a_3 + \cdots| \le |a_1| + |a_2| + |a_3| + \cdots = \sum_{n=1}^\infty|a_n|$

¿Podemos usar la Desigualdad del Triángulo porque las secuencias de sumas parciales de las dos series están acotadas? ¿O podemos simplemente usar la Desigualdad del Triángulo directamente?

polfosol

La inducción ayudará

Hizo

@polfosol No realmente, o mejor dicho: realmente no.

polfosol

@Tenías razón. Se ha convertido en un hábito para mí probar la inducción primero, cuando veo un enunciado sobre números enteros. Y a veces lo recomiendo ciegamente sin tener idea de "cómo". Es bueno que los comentarios no reciban votos negativos ;)

Respuestas (1)

Demostrar si ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, entonces |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\left|a_n\right|

@Tenías razón. Se ha convertido en un hábito para mí probar la inducción primero, cuando veo un enunciado sobre números enteros. Y a veces lo recomiendo ciegamente sin tener idea de "cómo". Es bueno que los comentarios no reciban votos negativos ;)

Najib Idrissi · Answer 1

No, no está "permitido" simplemente usar la desigualdad triangular de esa manera. De hecho, estás usando el mismo hecho que quieres probar, en tu prueba... La última desigualdad que escribiste usando " $\dots$ " es exactamente lo que está tratando de probar! Esto se llama una prueba circular y no es realmente una prueba en absoluto.

En cambio, debes tener más cuidado. Dejar $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ sea la secuencia de sumas parciales. Usando la desigualdad del triángulo real y la inducción, puedes probar que para todo $N$ ,

| S_{norte} | \leq \sum_{norte = 1}^{norte} | a_{norte} | .

$|S_N| \le \sum_{n=1}^N |a_n|.$

Además, es claro que $\sum_{n=1}^N |a_n| \le \sum_{n=1}^\infty |a_n|$ , porque el límite de una sucesión no decreciente es mayor que cada término individual. Por lo tanto, obtienes eso para todos. $N$ ,

| S_{norte} | \leq \sum_{norte = 1}^{\infty} | a_{norte} | .

$|S_N| \le \sum_{n=1}^\infty |a_n|.$

Ahora bien, si una secuencia $u_n$ converge y para todos $n$ tienes $|u_n| \le C$ , entonces $\lim_{n \to \infty} |u_n| \le C$ . Puedes aplicar eso a la secuencia. $\{S_N\}$ y $C = \sum_{n=1}^\infty |a_n|$ para finalmente obtener:

\underset{norte \to \infty}{límite} | S_{norte} | = | \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} | \leq \sum_{norte = 1}^{\infty} | a_{norte} | .

$\lim_{N \to \infty} |S_N| = \left| \sum_{n=1}^\infty a_n \right| \le \sum_{n=1}^\infty |a_n|.$

Demostrar si ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, entonces |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\left|a_n\right|

Descafeinado-Matemáticas

polfosol

Hizo

polfosol

Respuestas (1)

Najib Idrissi

Si lim supn→∞an=a<∞lim supn→∞an=a<∞\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=a< \infty, entonces ∀ϵ>0∀ϵ>0\forall\epsilon >0 ∃N∈N:an≤a+ϵ∃N∈N:an≤a+ϵ\exists N\in \mathbb{N}:a_n\leq a+\epsilon

¿Es correcta esta prueba? probar que la suma de una sucesión convergente y divergente es una sucesión divergente

Encuentre para el límite superior dado, épsilon.

Demostrando la aproximación de forma cerrada de la relación de recurrencia Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Resolver una ecuación formal en serie de potencias

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

¿Sucesión convergente en espacio métrico completo que no es de Cauchy?

Suma de los cuadrados inversos de la hipotenusa de los triángulos pitagóricos

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

convergencia monótona sin 1 punto