Demostrar que todo rayo es un poliedro

Estoy leyendo un libro sobre optimización lineal y tengo el siguiente problema:

Demostrar que todo rayo en R norte es un poliedro.

El libro define un rayo de la siguiente manera:

por un punto X 0 ∈ R norte y un vector d ∈ R norte , un rayo es el conjunto

{ X 0 + λ d ∣ ∀ λ ∈ R tal que λ ≥ 0 }

También define un poliedro como un conjunto de soluciones a un sistema de desigualdades lineales.

Mi idea es encontrar una transformación lineal. A , cuyo núcleo es el subespacio generado por d . En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación A X = A X 0 será una línea que contiene el rayo. Pero hay dos problemas. Primero, no sé cómo encontrar tal A . En segundo lugar, no sé qué hacer a continuación.

Cualquier ayuda es apreciada.

¿Estás seguro de que un poliedro no se define como el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales, en lugar de solo una desigualdad lineal? Porque todo lo que obtienes de una desigualdad son medios espacios.
@coffeemath En realidad, el libro usa la notación de desigualdad vectorial, pero editaré mi pregunta. Gracias.
@coffeemath Por notación vectorial, quiero decir A X ≤ b dónde A es norte × norte matriz y X y b son ambos norte -vectores dimensionales. La desigualdad significa que cada componente de A X es menor que el componente correspondiente de b . Entonces creo que esto es equivalente a un sistema de desigualdades lineales. También es equivalente a la intersección de un número finito de medios espacios. Por lo tanto, determina un poliedro en las tres definiciones.
Estoy bastante seguro de que un conjunto de desigualdades lineales solo puede darte poliedros convexos .
@Arthur El libro considera los poliedros como un subconjunto de conjuntos convexos.
Bien, entonces está bien. Estoy acostumbrado a que los poliedros no sean necesariamente convexos como una suposición implícita.

Respuestas (1)

Deja que el rayo sea R = { X 0 + t d } t ≥ 0 . Dejar d 2 , . . . , d norte ser una base para { d } ⊥ , entonces R = { X | d k T ( X − X 0 ) = 0 , d T ( X − X 0 ) ≥ 0 } .

Demostrar que todo rayo es un poliedro
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v