Demostrar que las temperaturas absolutas negativas son en realidad más calientes que las temperaturas absolutas positivas

¿Podría alguien proporcionarme una prueba matemática de por qué un sistema con una temperatura Kelvin negativa absoluta (como la de un sistema de espín) es más caliente que cualquier sistema con una temperatura positiva (en el sentido de que si un sistema de temperatura negativa y una temperatura positiva -el sistema de temperatura entra en contacto, el calor fluirá del sistema de temperatura negativa al positivo).

Respuestas (7)

El comentario de Arnold Neumaier sobre la mecánica estadística es correcto, pero así es como puedes probarlo usando solo la termodinámica. Imaginemos dos cuerpos a diferentes temperaturas en contacto entre sí. Digamos que el cuerpo 1 transfiere una pequeña cantidad de calor q al cuerpo 2. La entropía del cuerpo 1 cambia por − q / T 1 , y la entropía del cuerpo 2 cambia por q / T 2 , por lo que el cambio de entropía total es

q ( 1 T 2 − 1 T 1 ) .
Este cambio de entropía total debe ser positivo (según la segunda ley), por lo que si 1 / T 1 > 1 / T 2 después q tiene que ser negativo, lo que significa que el cuerpo 2 puede transferir calor al cuerpo 1 y no al revés. es el signo de 1 T 2 − 1 T 1 que determina la dirección en que el calor puede fluir.

Ahora digamos que T 1 < 0 y T 2 > 0 . Ahora está claro que 1 T 2 − 1 T 1 > 0 ya que ambos 1 / T 2 y − 1 / T 1 son positivos. Esto significa que el cuerpo 1 (con temperatura negativa) puede transferir calor al cuerpo 2 (con temperatura positiva), pero no al revés. En este sentido, el cuerpo 1 es "más caliente" que el cuerpo 2.

Esto es correcto, y el punto central puede expresarse así: cuando la energía térmica sale de un cuerpo a temperatura negativa, la entropía de ese cuerpo aumenta.
Tu prueba termodinámica es incorrecta, porque en termodinámica T < 0 rompe la consistencia de la termodinámica, vea este artículo de Nature Physics La termostática consistente prohíbe las temperaturas absolutas negativas

Desde un punto de vista fundamental (es decir, de mecánica estadística), el parámetro físicamente relevante es frialdad = temperatura inversa β = 1 / k B T . Esto cambia continuamente. Si pasa de un valor positivo a través de cero a un valor negativo, la temperatura cambia de muy grande positiva a infinita (con signo indefinido) a muy grande negativa. Por lo tanto, los sistemas con temperatura negativa tienen una frialdad menor y, por lo tanto, son más calientes que los sistemas con temperatura positiva.

Algunas referencias:

D. Montgomery y G. Joyce. Mecánica estadística de estados de “temperatura negativa”. física Fluidos, 17:1139–1145, 1974.
http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19730013937_1973013937.pdf

EM Purcell y RV Pound. Un sistema de espín nuclear a temperatura negativa. física Rev., 81:279–280, 1951.
Enlace

Artículo 73 de Landau y EM Lifshits. Física estadística: parte 1,

Ejemplo 9.2.5 en mi libro en línea Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras .

"Desde un punto de vista fundamental (es decir, de la mecánica estadística), el parámetro físicamente relevante es la frialdad". Me temo que eso no es correcto. Es energía, como se muestra en este artículo . Por ejemplo, la temperatura (inversa) generalmente no permite determinar la dirección del flujo de calor, porque es solo una derivada de S .
@jkds: Por supuesto, la energía interna, la temperatura, la presión, etc. son todos físicamente relevantes. Lo que quise decir es que la temperatura de frialdad (inversa) es más relevante que la temperatura misma.
Claro, pero lo que los autores demostraron fue que la temperatura no tiene una correspondencia uno a uno con el macroestado de un sistema. El mismo sistema puede tener la misma temperatura con energías internas completamente diferentes. Así que la temperatura, a diferencia de mi / norte , puede ser una descripción engañosa del sistema.
@jkds: en el conjunto canónico, el macroestado está determinado por la temperatura; en otros conjuntos (como el gran canónico), uno necesita, por supuesto, parámetros adicionales. Entonces, la temperatura y la energía interna ya no están en correspondencia 1-1, sino que están relacionadas por una ecuación de estado que involucra a los otros parámetros. Pero mi respuesta es de todos modos independiente del flujo de calor.
No, ese no es el problema. El problema es que para un DoS no convexo (piense en una escalera) ∂ S ∂ mi puede tomar el mismo valor y por lo tanto la misma temperatura a diferentes energías. Eso es todo. Solo necesitas el conjunto microcanónico para verlo.
@jkds: la temperatura es una propiedad del límite termodinámico donde el conjunto microcanónico es equivalente al conjunto canónico. En el conjunto canónico la correspondencia 1-1 es evidente. Además se puede probar la convexidad. Por lo tanto, si asume una entropía funcional no convexa, se encuentra en la situación termodinámica solo después de realizar la construcción de Maxwell (que corresponde aquí a tomar la envolvente convexa).
Creo que podría ser más fácil de explicar si yo mismo escribiera una respuesta, con cifras. Pero el TLDR; is (i) el conjunto microcanónico está en la base de stat. mecánico Si algo falla allí, no puedes repararlo más tarde. (ii) convexidad de S ( mi ) , mientras que es cierto para los sistemas normales, como los gases ideales, etc., generalmente no es el caso. Ejemplo de contador de libro de texto: norte gira sobre una recta en 1D: S ( mi ) Se ve como esto ⋂ , cóncavo. (iii) los conjuntos generalmente no son equivalentes. Pero ese es un punto más sutil.

Tome un gas de hidrógeno en un campo magnético. Los núcleos pueden estar alineados con el campo, de baja energía, o contra él, de alta energía. A baja temperatura, la mayoría de los núcleos están alineados con el campo y no importa cuánto caliente el gas, nunca puedo hacer que la población del estado de mayor energía exceda al estado de menor energía. Todo lo que puedo hacer es hacerlos casi iguales, como se describe en la distribución de Boltzmann.

Ahora tomo otra muestra de hidrógeno en la que he creado una inversión de población, tal vez por algún método similar al que se usa en un láser, por lo que hay más núcleos alineados contra el campo que con él. Este es mi material de temperatura negativa.

¿Qué sucede cuando mezclo las muestras? Bueno, esperaría que el gas invertido de la población se "enfríe" y que el gas normal se "caliente", de modo que mi mezcla termine con la distribución de Boltzmann de núcleos alineados y opuestos.

Ah, pero ¿quién dice que existen temperaturas absolutas negativas? Esto no está exento de controversias. Aquí hay un artículo sobre la naturaleza que desafía la existencia misma de temperaturas absolutas negativas, argumentando que las temperaturas negativas se producen debido a un método deficiente para definir la entropía, que a su vez se usa para calcular la temperatura.

Otras personas insisten en que estas temperaturas negativas son "reales".

Entonces, dependiendo de qué lado de este debate se alinee, estos sistemas pueden describirse con temperaturas positivas (y comportarse en consecuencia) o temperaturas negativas que tienen propiedades muy exóticas.

Esto no responde a la pregunta (la prueba que se solicita no se basa en si dichos sistemas existen realmente o no).
En lo que todo el mundo está de acuerdo es en que su comportamiento sorprende un poco, y eso es de esperarse ya que no nos encontramos con sistemas con techos de temperatura en el día a día. En cualquier caso, ese documento se cita en los comentarios sobre la mayoría de nuestras preguntas sobre "temperatura absoluta negativa". Puedo asegurarle que la mayoría de los autores de respuestas lo saben. Pero la pregunta presupone la definición de temperatura que genera valores 'negativos' y esta publicación realmente no la aborda.
@ACuriousMind: ¿Qué pasa con E=-mcc? La respuesta de Matt Thompson es afirmar que las temperaturas negativas son la bestia similar de las soluciones matemáticas espurias y no tienen ningún significado.
@matt-thompson: estás en el clavo. De hecho, la "temperatura" en oposición a la energía es sólo una cantidad derivada (una derivada de S ) y ni de lejos tan fundamental. Al observar densidades de estados que crecen de manera no monótona, es fácil construir paradojas, como sistemas en los que el calor fluye del baño más frío al más caliente, independientemente de la definición de entropía que se utilice; consulte el artículo de seguimiento de los autores.
Para una temperatura negativa, necesita un equilibrio térmico en el que dS/dU < 0. Esto puede suceder, pero solo en un sentido metaestable. Sin embargo, gran parte de la física térmica del equilibrio puede aplicarse a equilibrios metaestables de larga duración. El concepto de temperatura negativa es consistente con esto. (Y por cierto, si fuera cierto que alguien hubiera encontrado una manera de que el calor fluya de un baño más frío a uno más caliente (definido correctamente) sin que la entropía aumente en otro lugar, entonces todos lo sabríamos porque serían ricos y nuestro los problemas de energía se acabarían.)

Para los visualmente inclinados, este artículo lo explica de manera simple. La definición máxima de picor es la imagen del medio en lugar de la imagen derecha esperada:

cero absoluto, calor infinito y más allá de calor infinito

Debido a la definición poco intuitiva de calor, una muestra que solo incluye partículas calientes es kelvin negativo / más allá del calor infinito, y como se ve claramente en la imagen, daría energía a las partículas más frías.

Temperatura negativa: sí, me encontré con eso una vez: me parece recordar que es el estado que surge cuando, por ejemplo, tienes un sistema de dipolos magnéticos en un campo magnético, y han llegado a una distribución de equilibrio de orientaciones ... y luego el campo magnético se invierte repentinamente y la distribución es momentáneamente hacia atrás , básicamente la distribución dada al sustituir un valor negativo de T. Probablemente se pueden pensar o crear otros escenarios que de manera similar ocasionarían esta noción. Creo que posiblemente la respuesta es que el sistema está completamente fuera del equilibrio termodinámico, por lo que la 'temperatura' es solo la variable que antes era realmenteuna temperatura, y ahora es simplemente un artefacto que da esta distribución de no equilibrio cuando se conecta de manera grosera a la fórmula de distribución. Entonces, el calor se transfiere porque ahora tiene un sistema altamente excitado completamente fuera de equilibrio que incide sobre un sistema que se aproxima a un depósito de calor. Creo que no se trata realmente de contabilizar la transferencia de calor por el método habitual , es decir, cuando ambas temperaturas son positivas, de introducir la diferencia de temperatura como la que impulsa la transferencia.

¿Y sería incluso transferencia de calor si la energía procede de una fuente totalmente fuera del equilibrio termodinámico? Es más que la energía transferida se está convirtiendo en calor, diría yo.

Solo para decir, en el ejemplo de espín, el sistema no está "totalmente fuera de equilibrio". Por sorprendente que parezca, la situación con espines más "hacia arriba" que "hacia abajo" es un equilibrio metaestable, porque la segunda derivada de la entropía es negativa. Esto significa que después de una pequeña fluctuación, el sistema volverá o se 'relajará' al estado de temperatura negativa, y este es el sentido en el que podemos hablar aquí de equilibrio térmico.
¿¡En realidad!? es metaestable verdad? ¡Eso es realmente bastante notable! Siento la necesidad de mirar eso más de cerca. Gracias.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. La respuesta de Matt Thompson está cerca.

El OP pide una prueba matemática de que

Si un sistema de temperatura negativa y un sistema de temperatura positiva entran en contacto, el calor fluirá del sistema de temperatura negativa al positivo.

No hay prueba para esta afirmación porque es incorrecta.

En mecánica estadística, la temperatura se define como

1 T = ∂ S ∂ mi

es decir, un derivado de S . Para norte o r metro a yo sistemas, como gases ideales, etc. S ( mi ) es una función altamente convexa de mi y hay una relación de 1 a 1 entre el macroestado del sistema y su temperatura.

Sin embargo, en los casos en que S no es una función convexa de mi , ∂ S ∂ mi puede tomar el mismo valor numérico a diferentes energías mi y por lo tanto la misma temperatura. En otras palabras, T , diferente a mi --en general-- no describe únicamente el macroestado de un sistema. Esta situación se da en sistemas que tienen temperatura de Boltzmann negativa (detalle: para una temperatura de Boltzmann negativa S tiene que ser no monótono en mi ).

Un sistema aislado 1 con una temperatura de Boltzmann negativa T B < 0 puede tener mayor o menor energía interna mi 1 / norte que otro sistema aislado, el sistema 2, al que se acopla.

Dependiendo de qué sistema tiene una mayor mi i / norte , i = 1 , 2 el calor fluye del sistema 1 al sistema 2 o viceversa, independientemente de las temperaturas de los dos sistemas antes del acoplamiento. Para más detalles, consulte

A continuación adjunto la Fig. 1, tomada de la versión arxiv de este trabajo para ilustrar este hecho.

ingrese la descripción de la imagen aquí

PD

  1. No soy autor de ninguno de los artículos citados.

  2. La termodinámica es compatible con el uso de la entropía de Gibbs, pero no con la entropía de Boltzmann. Mostrando esto es una prueba de cuatro líneas, vea este artículo de Nature Physics . La termostática consistente prohíbe las temperaturas absolutas negativas . La temperatura de Gibbs (a diferencia de la temperatura de Boltzmann) siempre es positiva, T > 0 .

  3. El intento anterior de @Nathaniel en una prueba puramente termodinámica de la declaración del OP se basa en la premisa de que T < 0 es compatible con la termodinámica. Este no es el caso, véase el punto 2. La prueba dada no es válida.

  4. Para sistemas normales, la distinción entre temperatura de Gibbs y Boltzmann es prácticamente irrelevante. Sin embargo, la diferencia se vuelve drástica cuando se consideran casos límite, por ejemplo, hamiltonianos truncados o sistemas con densidades de estados no monótonas. De hecho, en la mayoría de los cálculos en los libros de texto de mecánica estadística se usa la entropía de Gibbs en lugar de la entropía de Boltzmann. Recuerde calcular "todos los estados hasta energía mi " en lugar de "todos los estados en un ϵ cáscara en energía mi "? Esa es toda la diferencia.

  5. Hay toda una serie de intentos de publicar comentarios sobre el artículo de Nature Physics de Dunkel y Hilbert, pero todos fueron rechazados. Todos estos siguen el patrón de tratar de crear una contradicción, pero ninguno fue capaz de abrir un agujero en el breve argumento matemático de Dunkel y Hilbert.

No es necesario para S ser no convexo para tener una temperatura negativa. El conjunto canónico para un sistema simple de 2 estados tiene un régimen de temperatura negativo, pero S ( mi ) es convexa en ese caso. Seguramente es el caso de que si pasa al conjunto microcanónico, la no convexidad puede complicar las cosas, pero eso es tangencial a esta pregunta.
Eché un vistazo rápido al papel por si acaso, pero no cambié de opinión. La prueba en mi respuesta realmente es una prueba matemática: dice que (i) si la temperatura se define como 1 / T = ∂ S ∂ mi , y (ii) si se cumplen la primera y la segunda leyes, entonces (iii) el calor siempre debe fluir desde la parte inferior 1 / T a mayor 1 / T . Si no es así, entonces está usando el conjunto incorrecto o ha cometido algún otro error; no hay otra posibilidad. Ni la no convexidad de la entropía ni la no unicidad de mi ( T ) puede cambiar esto.
@Nathaniel, el resultado de la investigación que cité aquí, incluido un ejemplo específico, es precisamente que la temperatura (independientemente de la entropía que se use) no permite deducir la dirección del flujo de calor. Mi respuesta es específica a la pregunta de OP y breve, porque no quería entrar en todos los detalles. Consulte el documento vinculado y otros de los mismos autores para obtener respuestas a sus preguntas.
Sí, leí el periódico, aunque brevemente, como dije. Revisan múltiples definiciones estadísticas de entropía y temperatura, y afirman que, para algunas de ellas, la temperatura no predice la dirección del flujo de calor. Pero eso implica una violación de la segunda ley, por lo que solo significa que esas definiciones no son las correctas para el sistema en cuestión. Estoy de acuerdo con ellos en que la temperatura no determina únicamente el estado termodinámico si la entropía no es convexa, pero parecen decir que esto implica que no puede predecir la dirección del flujo de calor, que en realidad no sigue en absoluto .
@Nathaniel "Pero eso implica una violación de la segunda ley". Incorrecto. La segunda ley se analiza en el artículo de la Sec. V. De las definiciones de entropía revisadas sólo una --la entropía de Gibbs-- satisface estrictamente la segunda ley.
mira, si T se define a través de 1 / T = ∂ S ∂ mi entonces para dos sistemas acoplados tenemos ∂ S ∂ mi 1 = ∂ ( S 1 + S 2 ) ∂ mi 1 = ∂ S 1 ∂ mi 1 − ∂ S 2 ∂ mi 2 = 1 / T 1 − 1 / T 2 , y la entropía aumenta si y solo si el calor fluye desde el sistema con menor 1 / T al sistema con mayor 1 / T . Esta es una consecuencia realmente simple, completamente incontrovertible de la definición. Si su definición estadística de entropía contradice esto, contradice la segunda ley, incluso si tiene un artículo de Nature.
Con respecto al artículo de Nature Physics de Dunkel y Hilbert, me desconcierta que no mencionen la entropía de Gibbs-Shannon o von Neumann, que son las definiciones estadísticas de las que se deriva la distribución de Boltzmann en primer lugar. Sin embargo, no me sorprende que lo que llaman entropía de Gibbs (que en realidad es la definición de entropía de Boltzmann) sea una mejor aproximación que lo que llaman entropía de Boltzmann. Así que no estoy en desacuerdo con ellos en ese punto.
Sin embargo, su argumento sobre las temperaturas negativas no es convincente, ya que en realidad es solo una afirmación y no un argumento matemático en absoluto. Dicen: "En particular, dicho análisis debe tener en cuenta el hecho peculiar de que, cuando el motor térmico es capaz de sufrir una inversión de población, tanto un baño frío como uno caliente pueden inyectar calor en el sistema", como si eso constituyera una crítica, pero de hecho es el punto entero!
Por cierto, para evitar cualquier duda, el voto negativo no es mío.
@Nathaniel. podríamos discutir para siempre, pero probablemente este no sea el mejor lugar para hacerlo. Solo con respecto a su primer comentario sobre el flujo de calor: lo que muestran Dunkel y Hilbert en Nat.Phys. es tan satisfactorio d mi = T d S − pags d V conduce directamente a la entropía de Gibbs y no a la entropía de Boltzmann. Todo esto toma 12 Ecs. incluyendo 8 ecuaciones. de definiciones. como corolario T > 0 en termostática. Entonces, si desea obtener una prueba termodinámica, no puede simplemente enchufar T < 0 . Esta restricción en TD también se deriva de poder cambiar entre mi ( S , V , norte ) y S ( mi , V , norte ) . Deben ser monótonos.
@Nathaniel tal vez ustedes dos puedan discutir esto en el chat. Esto va a ser interesante.
No entiendo por qué sigues diciéndome lo que dice su periódico. lo he leído Pero lo que dices al respecto en tu último comentario es falso. Puede ser cierto que la relación d mi = T d S − pags d V no está satisfecho con lo que D&H llama "la entropía de Boltzmann", y también puede ser cierto que también está satisfecho con lo que ellos llaman "la entropía de Gibbs", no estoy argumentando en contra de nada de eso. Pero esa relación seguramente también se satisface con lo que ahora llamamos la entropía de Shannon, por lo que no es cierto que "conduzca directamente a la entropía de Gibbs".
Más importante aún: por supuesto, es cierto que si puede cambiar entre E (S) y S (E), entonces la temperatura debe tener siempre el mismo signo (positivo o negativo) porque esas funciones tienen que ser monótonas para que esto suceda. sea ​​el caso. Pero para los sistemas con niveles de energía limitados no se puede, y no lo son. No existe un principio que diga que debe poder cambiar entre ellos de esa manera, y la incapacidad de hacerlo para algunos sistemas no afecta la definición o el comportamiento de la temperatura o el flujo de calor.
@Nathaniel: OK (i) para obtener la jerga correcta: si hay W microestados en energía mi , todos igualmente probables con pags i = 1 / W , después S = − k b ∑ i = 1 W pags i yo o gramo ( pags i ) = k B ∑ i = 1 W yo o gramo ( W ) / W = k B yo o gramo ( W ) . Entonces, para nosotros, los físicos, la entropía de Boltzmann y Shannon es lo mismo aquí, porque usamos el postulado fundamental de stat. mecánico que todos los microestados son igualmente probables. ¿Acordado?
@Nathaniel: "No existe un principio que diga que debe poder cambiar entre ellos de esa manera". Permítanme recordarles el tercer postulado de la termodinámica: la entropía de un sistema compuesto es aditiva sobre los subsistemas constituyentes. La entropía es continua y diferenciable y es una función de la energía que aumenta monótonamente , consulte, por ejemplo, cvika.grimoar.cz/callen/callen_01.pdf[Callen] Así que en termodinámica (no hay stat. mech todavía) T es positivo. La pregunta es entonces: ¿qué definición de entropía es consistente con TD?
Con respecto a la entropía de Shannon vs. Boltzmann, tiene razón en que son iguales bajo esa suposición, pero para cualquier sistema dado, esa suposición puede o no ser correcta. Esta es otra de esas cosas que tiende a no importar para los sistemas grandes (debido a la propiedad de equipartición asintótica) pero tiende a importar bastante para los pequeños. Incluso si se satisface inicialmente, es poco probable que continúe satisfecha una vez que el sistema comience a intercambiar calor con otro sistema.
Tenga en cuenta también que lo que está llamando "la entropía de Bolztmann" es lo que D&H llama "la entropía de Gibbs", y lo que ellos llaman "la entropía de Boltzmann" es una especie de ansatz de gas ideal.
Con respecto a los postulados de Callen, son una descripción fenomenológica de la termodinámica macroscópica clásica; no es tan sorprendente que se descompongan en sistemas microscópicos. Lo que es interesante es que puede conservar casi todos excepto la declaración de que la entropía aumenta monótonamente.
Lo siento, pero nada de lo que escribiste es correcto. Escribes tantas cosas equivocadas que ni siquiera puedo responderlas todas. Entropía de Gibbs: sea Ω ( mi ) ser la suma de todos los microestados hasta la energía mi comenzando en 0, entonces la entropía de Gibbs es S GRAMO = k B yo norte Ω . Entropía de Boltzmann S B = k B yo norte ( Ω ′ ( mi ) ϵ ) dónde ϵ es una pequeña energía necesaria para hacer adimensional el argumento del registro.
Siguiente: la termodinámica es lo que queremos explicar con stat. mecánica. Estos no son solo postulados de callens, sino la base de TD. Queremos stat mech para poder explicar por qué funciona su motor.
Entonces, por motivos puramente TD, si la entropía no aumentara monótonamente con mi , no podíamos ir de d mi = T d S − pags d V − ∑ i a i d A i a d S = 1 T d mi + pags T d V + ∑ i a i T . Esto se llama la relación fundamental. El primero requiere mi ( S , V , norte ) el segundo S ( mi , V , norte ) . Así que esta es la razón puramente termodinámica por la que la entropía necesita aumentar con mi . En TD no hay T < 0 . Pero eso también se deriva de requerir esa estadística. mecánico cumple la relación fundamental, y eso es lo que demostraron Dunkel y Hilbert.
Demostrar que las temperaturas absolutas negativas son en realidad más calientes que las temperaturas absolutas positivas
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