Definición matemática de poder [duplicado]

El trabajo realizado por una fuerza no está definido por$W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. En cambio, el trabajo se define en términos de una integral de línea sobre un camino (su ecuación solo asigna un trabajo para una fuerza y ​​una posición, lo que no coincide con lo que queremos decir con el trabajo realizado por una fuerza). Tenemos

$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$

Entonces cuando tenemos$P=\text dW/\text dt$solo tenemos

$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$

entonces no hay$\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$término en la expresión de poder. Esto también funciona conceptualmente: la potencia de salida de una fuerza no debería depender directamente de la posición de la partícula (es decir, la ubicación del origen) en cuestión.

El trabajo se define como$W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. La potencia, P, es dW/dt =$\vec F \cdot \vec v$.

Su relación de trabajo es incorrecta, por lo que su relación de poder (relación encasillada en su pregunta) no es correcta.

Como otros ya han respondido,$W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$es una simplificación y funciona solo en un caso especial de constante$\mathbf F$. Y también sus fórmulas.

Una forma de verlo físicamente es reconocer que el trabajo no es una función de la posición. Matemáticamente lo solemos describir usando el concepto de diferencial inexacta:

$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$

Esta notación se usa para subrayar el hecho de que puede integrar ambos lados y obtener el mismo número, pero no puede reorganizar esta fórmula y, de hecho, no puede (en el caso general) expresar$\mathbf F$usando$W$.

Un ejemplo de un diferencial exacto y lo que le permite hacer:

$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$

PD Hay algunos casos especiales en los que puedes escribir$\mathbf F = \nabla \, W$, en esos casos se dice que$\mathbf F$es una fuerza potencial.

Cuando toma derivados, es de crucial importancia tener muy claro en su mente qué es función de qué.

En la definición del trabajo, la fuerza es función de la posición, no del tiempo. Esto significa que, aunque ciertamente puedes moverte en un campo de fuerza que varía en el tiempo, lo que importa es la fuerza que mides en cada paso de tu camino, independientemente de cómo haya sido esta fuerza en el pasado o lo será en el futuro.

Las otras respuestas discuten cosas extrañas como integrales y diferenciales. Esta respuesta intenta cumplir con el OP donde están: está dirigida al nivel de matemáticas utilizado en la pregunta y comienza con la fórmula$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.

Presumiblemente, la razón por la que comenzó con esta fórmula es que la encontró en su libro de texto de la escuela secundaria y se la enseñaron en la escuela. Eso es porque la fórmula es correcta, a diferencia de lo que dijeron algunas de las otras respuestas. Pero necesitas entender dos cosas para aplicarlo correctamente:

1. Requiere$\vec{F}$ser constante
2. Requiere$\vec{r}$ser el cambio de posición mientras el objeto está sujeto a la fuerza$\vec{F}$. Esto estaría mejor escrito como$\Delta \vec{r}$. [1]

Ahora veamos tu problema:

si$\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$entonces la fórmula para el poder se convierte en$P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, lo que implica que si la velocidad es cero, eso no significa necesariamente que la potencia del objeto también sea cero

Esta declaración no tiene en cuenta las dos cosas discutidas anteriormente:

1. No reconoce que$\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
2. No reconoce que$\vec{r}$, que es realmente$\Delta \vec{r}$, realmente no significa nada cuando la velocidad es cero. (Para abordar este punto correctamente, necesitamos integrales ; vea las otras respuestas).

[1] Para aquellos que saben de electricidad, así es como la gente suele escribir$V$cuando realmente quieren decir$\Delta V$.

Suponiendo que estamos hablando de velocidades no relativistas, entonces definiendo$\vec{F}=m\vec{a}$, su propuesta (de algún tipo) es que:

$$P=\frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}+\vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=m\left(\vec{r} \cdot \frac{d\vec{a}}{dt}+\vec{a} \cdot \vec{v}\right)$$ con$\vec{v}:=d\vec{r}/dt$.

$d\vec{a}/dt$se conoce como el "tirón" (o "sacudida"), con$\vec{a}$el vector aceleración. Debe ocurrir cada vez que una fuerza aumenta desde$\vec{0}$a$\vec{F}$. Puede obtener más información sobre el imbécil en su artículo de Wikipedia .

Que el tirón aparezca o no en la fórmula de potencia depende de cómo definas el trabajo: si usas$dW=\vec{F} \cdot d\vec{r}$, entonces el tirón no aparece. Sin embargo, si define$W=\int \vec{F} \cdot d\vec{r}$, entonces, al aplicar la diferenciación bajo la integral, obtendrá la ecuación que derivó, excepto que$d\vec{F}/dt$será reemplazado por$\partial\vec{F}/\partial t$: De acuerdo con esta diferenciación bajo la regla integral,

$$\frac{dW}{dt}=\frac{d}{dt} \int _{\vec{r}(t_0)}^{\vec{r}(t)}\vec{F}(\vec{r},t') \cdot d\vec{r}$$ $$=\vec{F}(\vec{r}(t),t) \cdot \frac{d(\vec{r}(t))}{dt}-\vec{F}(\vec{r}(t_0),t_0) \cdot \frac{d(\vec{r}(t_0))}{dt}+\int _{\vec{r}(t_0)}^{\vec{r}(t)}\frac{\partial\vec{F}}{\partial t} \cdot d\vec{r}$$ $$=:\vec{F} \cdot \vec{v}-\int _{\vec{r}_0}^{\vec{r}}\frac{\partial\vec{F}}{\partial t} \cdot d\vec{r}.$$ Si se supone entonces que$\frac{\partial\vec{F}}{\partial t}$es independiente de la distancia (que generalmente no es el caso), entonces $$\frac{dW}{dt}=:\vec{F} \cdot \vec{v}-\frac{\partial \vec{F}}{\partial t} \cdot \Delta \vec{r}.$$ Sin embargo, si uno considera lo que se requeriría para que la sacudida sea independiente de la distancia (piense en el ejemplo simple de aumentar una fuerza de tal manera que la fuente de la fuerza siempre esté en contacto con el objeto que experimenta la fuerza), uno puede convencer rápidamente uno mismo que esto es muy inusual.