Cálculo de la base de coordenadas

En la Relatividad General de Robert M. Wald, la definición de la "base de coordenadas" (del espacio tangente) de una variedad viene dada por:

Dejar ψ : O → tu ⊂ R norte ser un gráfico con pag ∈ O . Si F ∈ F , entonces por definición F ∘ ψ − 1 : tu → R es C ∞ . Para m = 1 , . . . , norte definir X m : F → R por

X m ( F ) = ∂ ∂ X m ( F ∘ ψ − 1 ) | ψ ( pag ) .

La base { X m } de V pag se llama base de coordenadas. Si hubiéramos elegido un gráfico diferente, ψ ′ , habríamos obtenido una base de coordenadas diferente { X v ′ } . Por supuesto, podemos expresar X m en términos de la nueva base { X v ′ } . Usando la regla de la cadena del cálculo avanzado, tenemos

X m = ∑ v = 1 norte ∂ X ′ v ∂ X m | ψ ( pag ) X ′ v .

Sin embargo, esta definición no parece ser "correcta".

Dejar O ser R 2 y deja Ψ ser la carta de identidad. En este caso, obtenemos que

X 1 ( F ) = ∂ F ∂ X
X 2 ( F ) = ∂ F ∂ y
lo cual está bien. Sin embargo, si ahora elegimos un gráfico diferente, ψ ′ , que es el "sistema de coordenadas polares" dado por ψ ( r , θ ) = ( r porque ⁡ θ , r pecado ⁡ θ ) ; ψ − 1 ( X , y ) = ( X 2 + y 2 , arcán ⁡ y / X ) .

De la regla de la cadena parece que lo que queremos es

X 1 = ∂ F ∂ X = ∂ F ∂ r ∂ r ∂ X + ∂ F ∂ θ ∂ θ ∂ X = ∂ r ∂ X X r ′ + ∂ θ ∂ X X θ ′

O, en otras palabras, X 1 ′ = X r ′ = ∂ F ∂ r , X 2 ′ = X θ ′ = ∂ F ∂ θ . Pero si calculamos X 1 ′ y X 2 ′ de la definición obtenemos:

X 1 ′ = ∂ ∂ X ( F ~ ∘ ψ ′ − 1 ) | ψ ′ ( pag ) .
(dónde F ( X , y ) = F ~ ( r porque ⁡ θ , r pecado ⁡ θ ) = F ~ ( r , θ ) . )
X 1 ′ = ∂ F ~ ∂ r ∂ r ∂ X + ∂ F ~ ∂ θ ∂ θ ∂ X .

¿Cómo se supone que debemos aplicar exactamente la definición dada para el gráfico de coordenadas polares?

Respuestas (2)

El diagrama de la página 15 es útil. Los ejes de su gráfico no son x e y. Sus ejes están etiquetados θ y r . Es muy importante entender que el gráfico es literalmente solo un etiquetado en R norte .

F se define en la variedad. No el gráfico. Pero tienes un mapeo desde el colector hasta el gráfico.

Por lo tanto,

F | pag = F ( r , θ )   | ψ − 1 ( r , θ ) .

X θ ( F ) = ∂ ∂ X θ ( F ∘ ψ − 1 ( r , θ ) )

o

∂ F ∂ θ = ∂ ∂ θ ( F ∘ ψ − 1 ( r , θ ) )

Si gramo : ( r , θ ) → ( X ( r , θ ) , y ( r , θ ) ) entonces

∂ F ∂ θ = ∂ ∂ θ ( F ∘ gramo ∘ ψ − 1 ( r , θ ) )

Luego aplica la regla de la cadena para obtener ∂ F ∂ θ = ∂ F ∂ X ∂ X ∂ θ + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ θ .

Por favor, no destroces tus respuestas.

Si bien @ExpertNonexpert tiene razón en que F ~ es una mala dirección innecesaria, el error que realmente importa está en esta línea:

X 1 ′ = ∂ ∂ X ( F ~ ∘ ψ ′ − 1 ) | ψ ′ ( pag ) .

Específicamente, la derivada se toma con respecto al parámetro incorrecto. Debería ser

X 1 ′ = ∂ ∂ X ′ 1 ( F ∘ ψ ′ − 1 ) | ψ ′ ( pag ) .

Y desde X ′ 1 es solo θ , todo sale como era de esperar.

Sí, pero mi gráfico fue escrito ( r , θ ) ↦ ( X , y ) lo que implicaría que tomamos la derivada wrt X y y . Si entiendo @Expert Nonexpert, entonces el gráfico debería verse como pag ∈ METRO ↦ ( r , θ ) .
"mi carta fue escrita ( r , θ ) ↦ ( X , y ) ". Eso no es un gráfico. Podría pensar en él como un mapa de transición , pero definitivamente no es un gráfico. Parece que tal vez su confusión se debe a que toma O = R 2 , y cualquier gráfico es un mapa ψ : O → tu , con tu = R 2 también. Pero esos son dos diferentes R 2 s. Lo mejor es pensar en METRO y O como espacios nebulosos. coordenadas como X , y , r , θ nunca están realmente en esos espacios; simplemente corresponden a puntos en esos espacios.
@ Jbag1212 El gráfico es el etiquetado. Es una noción engañosa porque realizamos este etiquetado para la superficie de la esfera pegándole etiquetas. No nos detenemos a pensar en cómo expresar eso matemáticamente. Cuando hacemos eso, estamos mapeando efectivamente los puntos que son soluciones a la ecuación r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 a las etiquetas. Eso no suele estar estresado. Es por eso que puede ser confuso.
@ Jbag1212 entonces f se define en esos puntos (x, y, z) = (x (theta, phi), y (theta, phi), z (theta, phi)). Wald se refiere a un ψ y eso también es complicado porque ψ es el mapeo al gráfico (theta, phi). pero casi nunca trabajamos realmente con esa función matemática en la práctica. estamos mucho más familiarizados ψ − 1 con x=rcos(theta) y y=rsen(theta)
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