¿Estado propio de posición+momento?

Entonces, ¿por qué no se pueden violar las relaciones de incertidumbre en tal caso, si pudiera, digamos, medir la posición del objeto con esta función de onda?

Esa es la trampa. no puedes

O más bien, puede medir la posición, pero el resultado que obtenga variará de una medición a otra, porque la función de onda$\exp(x^2/2i - cx)$no es un estado propio de posición. Tampoco es un estado propio del impulso, por lo que si intentara medir el impulso, obtendría una variación similar entre las mediciones. Podría calcular las desviaciones estándar de las medidas de posición y momento,$\sigma_x$y$\sigma_p$respectivamente, y encontraría que satisfacen el principio de incertidumbre.

Solo si mide la combinación específica de posición más impulso obtendrá el mismo resultado cada vez.

Estaba imaginando que si el vector de un sistema es un vector propio, con valor propio k, de algún O observable, entonces cualquier medida de O resultará en k y dejará el sistema en el mismo estado de vector propio, incluso si O es una especie de " observable compuesto".

Intentalo.

Definir

$$\psi_0 = \exp \left( \frac{x^2}{2i}−cx \right)$$

y actuar en consecuencia con$x + p$Llegar

$$\begin{array} \\ \psi_1 & = (x+p)\psi_0 \\ & = x\exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) - i\frac{d}{dx}\exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) \\ & = x\exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) - i\exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) \\ & = x\exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) - i\exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) \left(\frac{2x}{2i} - c\right) \\ & = c\exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right) = c \psi_0 \end{array}$$ lo que demuestra que $\psi_0$es una función propia de $(x+p)$(que ya sabía, pero lo muestro para mostrar la diferencia con el operador de posición a continuación).

Así que intentamos lo mismo con solo$x$, pero

$$\psi_2 = x\psi_0 = x \exp\left(\frac{x^2}{2i}−cx\right)$$

no es un tiempo constante$\psi_0$entonces su función de onda no es una función propia del operador de posición. Ese resultado resulta ser general,$\hat{O} = \hat{x} + \hat{p}$no comparte funciones propias ni con el operador de posición ni con el de momento.

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Tengo la sensación de que está buscando a tientas un método para comprender estos problemas sin la complejidad (potencial) de trabajar el problema a mano cada vez. Es una buena idea; el marco habitual es definir el "conmutador" entre dos operadores$\hat{A}$y$\hat{B}$como

$$\left[\hat{A},\hat{B}\right] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \,.$$

Con un poco de esfuerzo, puede demostrar que cuando el conmutador es cero, los operadores comparten estados propios, y cuando es distinto de cero, no lo hacen.

Con esto en mente, podríamos haber escrito

$$\begin{array} \\ \left[ x,(x+p) \right] & = x\left(x-i\frac{d}{dx}\right) - \left(x-i\frac{d}{dx}\right)x \\ & = \left( x^2 - ix\frac{d}{dx} \right) - \left(x^2 - i\frac{d}{dx}x \right) \\ & = \left( x^2 - ix\frac{d}{dx} \right) - \left(x^2 - i \right) \\ & = i \left( \frac{d}{dx}x - x\frac{d}{dx} \right) \\ & \ne 0 \end{array}$$

y sacado las mismas conclusiones.

Vaya a buscar "Transformadas de Fourier iteradas fraccionariamente". Esta es un área rica de matemáticas aplicadas para la física y la ingeniería.

Los operadores de posición y momento son transformadas de Fourier entre sí. Cuando formas combinaciones lineales, generalmente como

$$\cos(\theta)x + i\sin(\theta){{d}\over{dx}},$$

encuentra una relación interesante con el operador de posición simple, una especie de transformada parcial de Fourier. Esta combinación lineal tiene su compañero malvado con el que es incompatible, al igual que la posición lo es con el impulso:

$$\sin(\theta)x - i\cos(\theta){{d}\over{dx}},$$

Así que no, no puedes engañar a Heisenberg.

La transformada de Fourier iterada fraccionadamente es un operador$\mathscr{F}_\alpha$tal que

$$\begin{align} \mathscr{F}_0(f) &= f \\ \mathscr{F}_1(f) &= \mathscr{F}f \\ \mathscr{F}_\alpha \mathscr{F}_\beta &= \mathscr{F}_{\alpha+\beta} \end{align}$$

Tenga en cuenta que$\mathscr{F}_4(f) = f$. (Si no sabía que las cuatro transformadas de Fourier devuelven la función original, es bueno saberlo ahora).

Los coeficientes para el uso del operador mixto de posición+momentum$\theta$, relacionado con$\alpha$por$\theta = {\pi\over{2}}\alpha$.

Las funciones propias de la FIFT son las funciones de onda del estado de energía$\phi_n$del oscilador armónico. Una función arbitraria se puede analizar en términos de estas funciones propias, que son ortogonales y completas.

$$f(x) = \sum A_n\phi_n(x)$$

Para encontrar la transformada ordinaria de Fourier, multiplique los coeficientes$A_n$por factores de fase:

$$\begin{gather} \mathscr{F}(f(x)) = g(y) = \sum B_n \phi_n(y) \\ B_n = i^n A_n \end{gather}$$

Esto se generaliza fácilmente a órdenes arbitrarios de iteración:

$$\begin{gather} \mathscr{F}_\alpha(f(x)) = g^{(\alpha)}(y) = \sum B^{(\alpha)}_n \phi_n(y)\\ B^{(\alpha)}_n = i^{\alpha n} A_n \end{gather}$$

Si$\alpha$es$2\pi$, después$B_n=A_n$.

Si examina la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico comenzando con una función de onda inicial arbitraria, la evolución temporal de la función de onda se puede describir usando FIFT con$\alpha$variando linealmente con el tiempo.

Cosas divertidas para reflexionar:

• $\alpha$siendo cercano a cero. Haz aproximaciones.
• diferenciar wrt$\alpha$
• $\alpha$siendo puro imaginario.

En ingeniería del mundo real, FIFT se usa en óptica para describir patrones de difracción de campo cercano en algunas situaciones.