¿Qué tipo de variedad puede ser el espacio de fases de un sistema hamiltoniano?

La biblia para la formulación matemática de la Mecánica clásica, a saber, Fundamentos de la Mecánica de Abraham y Marsden, define un sistema hamiltoniano como un triple$(M, \omega, X_H)$dónde$(M, \omega)$es una variedad simpléctica, y$X_H$es el campo vectorial hamiltoniano correspondiente a una función hamiltoniana$H:M\to\mathbb R$.

Ahora, ¿existen típicamente restricciones, incluidas quizás topológicas, impuestas a$M$? Bueno, Abraham y Marsden incluyen algunos que son bastante estándar:

1. $M$es hausdorff
2. $M$es el segundo contable
3. $M$es diferenciable

Aparte de estas restricciones, los autores (y sospecho que esto es estándar) no imponen más restricciones en$M$. En particular, no hay ninguna razón por la que no pueda considerar una variedad$M$con género arbitrario.

Nota. Como señalaron el usuario ACuriousMind y otros, existen complicaciones toplógicas derivadas del hecho de que solo ciertas variedades admiten estructuras simplécticas, por lo que no puede simplemente elegir cualquier variedad antigua (especialmente de dimensiones superiores) y divertirse.

Sin embargo, nótese que en el caso de$2$-variedades, existen superficies de género arbitrariamente alto que admiten estructuras simplécticas debido a la siguiente secuencia de hechos:

1. Cada liso, orientable$n$-el colector admite un volumen suave que no se desvanece$n$-forma.
2. Por lo tanto, todo liso, orientable$2$-el colector admite un suave, que no se desvanece$2$-forma que tampoco es degenerada.
3. Este$2$-la forma es cerrada porque su derivada exterior es una$3$-forma que debe desaparecer en dimensión$2$.

Tomemos por ejemplo cualquier$n$-fold torus , cada uno de estos tipos es suave, orientable$2$-variedad que por lo tanto admite una estructura simpléctica, y el género de cada uno de ellos es$n$. los$3$El toro de pliegue se muestra a continuación.

El espacio de fase es una variedad simpléctica , por lo que cualquier variedad$\mathcal{M}$que admite una forma 2 cerrada no degenerada es un espacio de fase posible.

Ahora bien, ¿qué es necesario (o suficiente) para admitir tal forma?

En primer lugar, como mencionas,$\mathcal{M}$debe ser de dimensión uniforme.

Segundo,$\mathcal{M}$debe ser orientable. ¿Por qué? Debido a que la orientabilidad es equivalente a la existencia de una forma de volumen no degenerada, y el producto de cuña de n veces de la forma simpléctica$\omega$siempre proporcionará tal forma, por lo que las variedades no orientables están fuera.

Tercero, si$\mathcal{M}$es compacto, debe tener también una segunda cohomología de DeRham que no se desvanece , de modo que hay formas cerradas que no son exactas, de las cuales la forma simpléctica es entonces una. ¿Por qué? Porque la desaparición de la clase de cohomología de la forma simpléctica implicaría la desaparición de la cohomología de la forma de volumen inducido, lo cual no puede ser.

En esto, he asumido, como hacen algunos, que el término variedad ya significa un segundo espacio numerable de Hausdorff. No sé nada acerca de si los espacios contables que no son de Hausdorff o que no son de segundo son localmente difeomorfos a$\mathbb{R}^n$también puede ser simpléctico.

Richens & Berry [Physica 1D, 495-512 (1981)] dan bellos ejemplos de tales sistemas (con espacio de fase que es una superficie de género > 1), a los que llaman pseudointegrables; sus ejemplos son variedades invariantes de billares en forma de polígonos con ángulos racionales. Estos sistemas son interesantes porque hay dos constantes de movimiento, por lo que las variedades invariantes son bidimensionales, pero no se comportan en absoluto como sistemas integrables, cuyas variedades invariantes son tori (es decir, género-1). El ejemplo más simple es un rombo de billar con dos ángulos internos de 120 grados y dos de 60 grados. Sus variedades invariantes son exactamente superficies de género 2. La razón por la que Arnold El teorema de s (que afirma que las variedades invariantes de los sistemas hamiltonianos D-dimensionales con D constantes de movimiento son toros D-dimensionales) no se puede usar porque la suposición de que se pueden construir dos campos vectoriales uniformes a partir de las dos constantes de movimiento se rompe. (Los campos vectoriales tienen singularidades en las esquinas). Me gustaron mucho las respuestas anteriores de JoshPhysics y ACuriousMind.