Curvatura de un cable que soporta un puente colgante en el régimen donde la masa del cable no es despreciable

Dejar$y(x)$Sea la curva que describe la forma del cable. Dejar$T(x)$Sea la tensión en el cable. Considere un pequeño segmento que se extiende desde$x$a$x+dx$. La componente horizontal de la tensión en los dos extremos de este segmento debe cancelarse, por lo que$T_x$debe ser constante. Si$\theta$es el ángulo que forma el cable con la vertical, de modo que$y'=\tan\theta$, entonces$T\cos\theta$es constante En otras palabras,

$${T\over \sqrt{1+y'^2}}=\alpha$$ dónde$\alpha$es una constante.

Ahora considere las fuerzas verticales. Las fuerzas de tensión en los dos extremos de nuestro elemento de longitud pequeña son

$$T_y(x+dx)-T_y(x)=T_y'(x)\,dx=(T\sin\theta)'\,dx=\left(Ty'\over \sqrt{1+y'^2}\right)'dx= \alpha y''\,dx.$$ Esta fuerza debe equilibrar el peso del cable y del puente colgante debajo de él: $$\alpha y''\,dx=\beta\sqrt{1+y'^2}\,dx+\gamma\, dx.$$ Aquí$\beta,\gamma$son las densidades de masa lineal del cable y el puente, respectivamente.

Entonces la ecuación que debemos resolver es

$$y''=b\sqrt{1+y'^2}+c,$$ dónde$b=\beta/\alpha,c=\gamma/\alpha$.

Dejar$m(x)=y'(x)$sea ​​la pendiente. Entonces esta es una ecuación separable de primer orden para$m$, con solución

$$x=\int{dm\over b\sqrt{1+m^2}+c}.$$ Mathematica alegremente hace esta integral: $$x=\frac{\frac{c \tan ^{-1}\left(\frac{c m}{\sqrt{m^2+1} \sqrt{b^2-c^2}}\right)}{\sqrt{b^2-c^2}}-\frac{c \tan ^{-1}\left(\frac{b m}{\sqrt{b^2-c^2}}\right)}{\sqrt{b^2-c^2}}+\sinh ^{-1}(m)}{b}.$$ Ahora "todo" lo que tienes que hacer es invertir esto para obtener$m(x)$, e integrar$y(x)=\int m(x)dx$. Desafortunadamente, no hay una buena solución de forma cerrada para esto. Pero Mathematica sí verifica que la solución va a una catenaria como$c\to 0$y a una parábola como$b\to 0$, así que creo que es correcto.

[Editado por TB: originalmente el último límite decía$c\to\infty$, pero$b\to 0$es mejor. Vea mi comentario a continuación.]