Cuanto más rápido te mueves, ¿se necesita más y más energía para aumentar tu velocidad al mismo ritmo?

Sí, así es, también puedes diferenciar ambos lados de

con respecto al tiempo y puesta$\frac{dE}{dt} = P$, la potencia suministrada, se llega a

entonces para una potencia dada$\frac{dv}{dt}$es inversamente proporcional a$v$

El álgebra es correcta, pero la interpretación puede no ser la que pretendes. En su descripción, hay una contradicción entre "sin fuerzas externas" (momento conservado) y el cambio de velocidad de$v_0$a$v_1$(momento no conservado).

Te refieres a un "cohete" que está "agregando algo de energía$E$al sistema quemando algo de combustible". Un cohete es más complicado de analizar que lo que está mostrando, porque el "sistema" (en el que no hay fuerzas externas) es el cohete más su propulsor. El sistema no se mueve como un cuerpo rígido y no puede ser descrito por una sola masa y velocidad, por lo que su ecuación no se aplica .$E$liberado por la combustión es el aumento neto de la energía cinética del cohete más el propulsor, pero esto puede distribuirse de diferentes maneras entre los dos .

Una aplicación más simple de su enfoque sería cuando un vehículo está sujeto a fuerzas externas, pero la cosa con la que se intercambia el impulso es tan masiva que su cambio de energía es insignificante, por ejemplo, la Tierra. Tome un vehículo terrestre con ruedas idealizado con solo fricción estática (neumáticos que se agarran a la carretera), sin resistencia a la rodadura ni arrastre, y con un motor y una transmisión perfectamente eficientes. Entonces su fórmula se aplica directamente: la energía cinética del vehículo aumenta por la energía$E$de combustible quemado.

Tiene razón en que agregar energía cinética a una tasa constante dará como resultado un aumento cada vez menor en la velocidad a medida que$v \propto \sqrt{\text{KE}}$. Sin embargo, la quema de combustible aumenta la cantidad de movimiento , en lugar de la energía cinética, a un ritmo constante, porque el combustible se expulsa en la dirección opuesta con una velocidad de escape constante con respecto al cohete.

Si suponemos que la masa del cohete y el combustible restante permanecen aproximadamente constantes, la velocidad también aumentará a una tasa aproximadamente constante. Sin embargo, si tenemos en cuenta la masa decreciente del cohete, la velocidad aumenta a un ritmo cada vez más rápido. De cualquier manera, esto da como resultado que el cohete gane energía cinética a un ritmo cada vez más rápido, ya que la energía cinética tiene una velocidad cuadrática.

Podemos reescribir su análisis de una manera ligeramente diferente:

La energía$E$tienes que ir de velocidad$v$acelerar$v+\Delta v$es

que podemos expandir como

para que, como mencionas, la energía que necesitas para ir de$v$a$v+\Delta v$depende del valor inicial$v$a través del término$\propto 2v\,\Delta v$.

Si tu entrada de energía$E$es constante, por supuesto, con el tiempo obtendrá un valor decreciente de$\Delta v$.

Si luego quemas energía a potencia constante$P$para que produzcas tu energía total$E$en un tiempo$\Delta t$entonces

es la ecuación que conecta todos los términos: a potencia constante, llevará más tiempo alcanzar un valor dado$\Delta v$a velocidades iniciales más altas, etc.

Note también que en el límite$\Delta t\rightarrow 0$y por lo tanto$\Delta v \rightarrow 0$obtendría el mismo resultado de la respuesta de John Hunter, es decir

También podemos resolverlo, consiguiendo que tu velocidad en el tiempo a potencia constante esté dada por

Las otras respuestas son correctas (+1 a cada una). Pero puede ayudar a su intuición considerar los cambios totales de energía y momento del cohete + gases de escape.

Suponga que un cohete está en reposo en su marco favorito. Enciende su motor brevemente, disparando un pulso de escape hacia atrás y propulsándose hacia adelante. El escape tiene$m_1$y$v_1$, dejando el cohete con$m_2$y$v_2$.

entonces

o, simplemente usando magnitudes,

También

Ahora suponga que el cohete ha adquirido velocidad v y repita el experimento. Suponga que el cohete todavía tiene masa.$m_2$. Como conocemos las direcciones, solo usaremos magnitudes.

De nuevo

Por energía,

Sí, el cambio de energía es el trabajo, que es fuerza por distancia. El cambio de velocidad es proporcional al cambio de cantidad de movimiento, el cambio de cantidad de movimiento es un impulso y el impulso es fuerza por tiempo. Si la fuerza es constante, y consideramos un tiempo fijo, entonces a medida que aumenta la velocidad, el impulso permanece constante, pero la distancia recorrida en ese tiempo aumenta, por lo que también aumenta el trabajo. Esto también significa que si tomamos el límite como$t$va a cero de cambio de energía por tiempo, va a cero; en el instante en que comienzas a acelerar, la potencia es cero.

Como nadie lo mencionó todavía, tal vez valdría la pena considerar la ecuación de Tsiolkovski .
La masa de la hélice es el factor crítico para aumentar la velocidad de un cohete, esa es la clave para el presupuesto delta-v utilizado en los viajes espaciales.

Si tiene en cuenta la forma en que funciona un motor de cohete, es decir, expulsando masa de reacción a una velocidad y velocidad constantes, su ecuación (que asume una masa constante) ya no se cumple. Esa podría ser la razón por la que su resultado parece contrario a la intuición: los motores de los vehículos espaciales no funcionan de esa manera (excepto tal vez en Star Wars, donde un X-Wing que apenas puede tener espacio para más de unas pocas toneladas de combustible puede alcanzar órbita, y un salto al hiperespacio para arrancar, con esa cantidad ridículamente pequeña :)).

En lugar de un objeto sin cambios al que se le agrega una energía constante, un cohete es un objeto de masa cada vez menor al que se le aplica un impulso constante. Una pequeña carga útil sobre un enorme tanque de combustible y motores que solo se suman al peso muerto final.

En términos de energía, lo que terminas haciendo es consumir una gran cantidad de energía química para acelerar el combustible que eventualmente arrojarás al espacio para recuperar solo una fracción de esa energía.

En un momento dado, si M es la masa de combustible restante, la energía 1/2 MV² que gastaste en acelerarlo ha sido una pérdida neta. Todo lo que puedes esperar es recuperar algo de energía cuando empieces a quemarla.

Un motor de cohete ideal podría adaptar su velocidad de eyección para "dejar caer" la masa de reacción justo fuera del reactor con energía cinética cero en un referencial vinculado a la plataforma de lanzamiento (es decir, al contrario de la velocidad actual del cohete, en un referencial local), transfiriendo así 100% de la energía al cohete y 0% a los gases de escape.

Por desgracia, todo lo que podemos fabricar son motores de impulso constante , por lo que cuando se expulsa una cantidad de masa de reacción, parte de la energía cinética desaparece en una bocanada de gases de escape y el cohete no recupera el 100% de la energía liberada por el motor.
El ejemplo del transbordador espacial dado en la wiki es bastante revelador. Incluso teniendo en cuenta el costo de la energía potencial, la gran mayoría de la energía del orbitador proviene del aumento de la velocidad (0,2 TJ frente a 3TJ: 15 veces más energía cinética que potencial). Incluso teniendo en cuenta la resistencia del aire y la energía potencial necesaria para levantar todo el transbordador y el combustible restante, al menos 3/4 de la energía se gasta acelerando el combustible mismo.

Es cierto que para mantener una aceleración constante que aumente su velocidad en relación con un marco de reposo, un cohete necesita gastar cantidades crecientes de energía en relación con ese marco de reposo. La conservación de la energía nos dice esto.

También es cierto que un cohete típico (en el espacio, suponiendo que no haya fuerzas externas) acelera a un ritmo constante.

También es cierto que un cohete típico utiliza energía química a un ritmo más o menos constante.

¡Pero esto parece imposible! El cohete acelera a un ritmo constante, y para hacer esto también debe aumentar el ritmo al que usa energía, pero usa energía química a un ritmo constante. ¿Cómo podemos reconciliar estos tres hechos?

La primera pieza del rompecabezas es que el cohete se quedará sin combustible y masa de reacción antes de que comience a romper la conservación de la energía. La tasa a la que gana energía cinética en relación con el resto del marco nunca puede ser mayor que la tasa a la que usa energía en relación con el resto del marco, y debe quedarse sin combustible antes de ese tiempo.

La siguiente pieza del rompecabezas es que cuando el cohete avanza lentamente, está usando su energía química de manera muy ineficiente. Sabemos que debe ser así, porque la tasa de aumento de la energía cinética es proporcionalmente más lenta a bajas velocidades, mientras que la tasa de uso de energía química del cohete es la misma. Por lo tanto, inicialmente tiene más generación de energía de la que "necesita" para aumentar su energía cinética. Inicialmente, el cohete funciona muy por debajo de su capacidad de potencia y, a medida que aumenta la velocidad, comienza a usar la potencia de manera cada vez más eficiente para aumentar su KE, hasta el punto en que se queda sin combustible.

Imaginemos un cohete que tiene una carga útil de 100 kg y lleva 900 kg de masa de reacción. Comienza estacionario en el espacio sin fuerzas externas actuando sobre él. Lanza constantemente 1 kg/s de masa de reacción hacia atrás a 1000 m/s con respecto a sí mismo. Esto significa que la masa de reacción ejerce una fuerza constante de F = 1000 kg m / s^2, o 1000 N, sobre el cohete. También significa que la potencia ejercida por el cohete, en el marco del cohete, es 1/2 * 1 kg/s * (1000 m/s)^2 = 500 kW.

La velocidad del cohete en el tiempo$T$es$v(T) = \int_0^T a(t) dt = \int_0^T 1000 / m(t) dt = \int_0^T 1000 / (1000 - t) dt = 1000 (-\ln |1000 - T| + \ln |1000|)$

La velocidad de escape (en el marco estacionario inicial),$v_e(T)$, es siempre$v(T) - 1000$EM.

La energía del cohete en el tiempo T es$1/2 m(T) v(T)^2$.

La energía total del escape en el tiempo T se obtiene integrando la energía de cada pieza del escape. Es$\int_0^T 1/2 v_e(t)^2 dt = 1/2 \int_0^T (1000 (-\ln |1000 - t| + \ln |1000|) - 1000)^2 dt$.

La potencia de salida total se obtiene como la tasa de aumento de la energía cinética del cohete + escape. Ya sabíamos que esto debería ser de 500 kW, y de hecho lo es.

La potencia de salida efectiva es la tasa de aumento de la energía cinética del cohete. Esto es pequeño al principio, ya que la mayor parte de la energía cinética va al escape, luego aumenta a un máximo cuando el cohete va a 1000 m/s (porque en este instante nada de la energía va al escape, porque el el escape está estacionario en el marco inicial), y luego disminuye nuevamente a medida que el cohete acelera aún más. En realidad, se vuelve negativo al final porque el cohete está perdiendo masa "más rápidamente" de lo que está acelerando.