¿Cuándo es plana la intersección de un cono y un cilindro?

Question

¿Cuándo es plana la intersección de un cono y un cilindro?

Matemáticas
secciones cónicas
geometria solida

Omrir

Estoy tratando de entender mejor el vínculo entre la interpretación algebraica y geométrica de la elipse, y me he preguntado acerca de la intersección de un cilindro circular recto y un cono circular recto.

Por un lado, sabemos que la intersección de cada uno con un plano (dado que el plano no está demasiado inclinado) es una elipse, por lo que podemos modificar los planos y el radio del cilindro para obtener las mismas elipses, como puede ser visto aquí _ En esto, concluyen que si los ejes del cono y del cilindro son paralelos, y el eje del cono cae dentro del cilindro, la intersección es una elipse plana.

Sin embargo, no funciona cuando se trata de las ecuaciones algebraicas de los dos:

{\begin{cases} (X - a)^{2} + y^{2} = b^{2} \\ X^{2} + y^{2} = C z^{2} \end{cases}

$\begin{cases} (x-a)^2 + y^2 = b^2\\ x^2 + y^2 = cz^2 \end{cases}$

al sustituir el segundo en el primero, obtenemos $2ax=cz^2+a^2-b^2$ , que es la ecuación de un cilindro parbólico. (El caso por $a=0$ da un círculo, y es una especie de solución trivial).

¿Qué enfoque es el correcto y qué tiene de malo el otro?

sergey zaitsev

¿Podemos considerar

a = 0

$a=0$ ? En este caso la intersección será un círculo. No podemos simplemente sustituir una ecuación por otra y hacer desaparecer la primera. Necesitamos convertir el sistema de dos ecuaciones en otro sistema de también dos ecuaciones

Omrir

El caso donde

a = 0

$a=0$ es una especie de solución trivial que busco cuando la intersección es una elipse con

e > 0

$e>0$ . Y como cada punto en la intersección hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, también hace la tercera. Debido a la simetría, la intersección se puede ver 'desde el lado' como

z (x)

$z(x)$ , que es el tercero.

Pauca inteligente

El cono y el cilindro también deben satisfacer las condiciones II y III de ese artículo: no creo que sea suficiente tener ejes paralelos.

Papa

De hecho,

a = 0

$a=0$ no daría como resultado una solución en absoluto, ¿verdad? Esa intersección no sería un círculo, sino dos círculos en los planos paralelos de

c z^{2} - b^{2} = 0

$cz^2-b^2=0$ . eso es asumiendo

b \neq 0

$b\ne0$ y

c > 0

$c\gt0$ . Sin esas condiciones no tendríamos un cono y un cilindro.

Jan-Magnus Økland

La intersección que casi siempre obtienes es una curva suave irreducible (no plana) de género uno, que se ve como dos óvalos sobre los reales y como un toro sobre los complejos, reducible solo cuando son dos (cada uno pero no como una unión plana) círculos para

a = 0.

$a=0.$

Respuestas (4)

¿Cuándo es plana la intersección de un cono y un cilindro?

¿Podemos considerar $a=0$ ? En este caso la intersección será un círculo. No podemos simplemente sustituir una ecuación por otra y hacer desaparecer la primera. Necesitamos convertir el sistema de dos ecuaciones en otro sistema de también dos ecuaciones
El caso donde $a=0$ es una especie de solución trivial que busco cuando la intersección es una elipse con $e>0$ . Y como cada punto en la intersección hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, también hace la tercera. Debido a la simetría, la intersección se puede ver 'desde el lado' como $z(x)$ , que es el tercero.
El cono y el cilindro también deben satisfacer las condiciones II y III de ese artículo: no creo que sea suficiente tener ejes paralelos.
De hecho, $a=0$ no daría como resultado una solución en absoluto, ¿verdad? Esa intersección no sería un círculo, sino dos círculos en los planos paralelos de $cz^2-b^2=0$ . eso es asumiendo $b\ne0$ y $c\gt0$ . Sin esas condiciones no tendríamos un cono y un cilindro.
La intersección que casi siempre obtienes es una curva suave irreducible (no plana) de género uno, que se ve como dos óvalos sobre los reales y como un toro sobre los complejos, reducible solo cuando son dos (cada uno pero no como una unión plana) círculos para $a=0.$

Pauca inteligente · Answer 1

Como encontraste correctamente, la intersección de un cono y un cilindro con ejes paralelos se encuentra en un cilindro parabólico, cuyo eje es perpendicular a los ejes del cono y el cilindro. Esto descarta una intersección plana, salvo en el caso trivial $a=0$ .

Azul · Answer 2

En esta respuesta , derivo una fórmula para la excentricidad de una elipse en términos de ángulos formados por la superficie del cono y el plano de corte, con un plano "horizontal" (perpendicular al eje). Complementando (en aras de una descripción más fácil aquí), podemos reformular la fórmula como

\begin{matrix} (1) & mi = \frac{porque θ}{porque ϕ} \end{matrix}

$e = \frac{\cos\theta}{\cos\phi} \tag1$ dónde

ϕ

$\phi$ es el ángulo formado por (un generador de) el cono y su eje, y

θ

$\theta$ es el ángulo (no obtuso) formado por el plano de corte (o, más específicamente, el eje mayor de la cónica) y el eje del cono. Es fácil mostrar que, para el caso de un cilindro, la relación correspondiente coincide con el resultado de establecer

ϕ = 0

$\phi=0$ (y escribiendo

θ^{'}

$\theta'$ para distinguir de

θ

$\theta$ ):

\begin{matrix} (2) & mi = porque θ^{'} \end{matrix}

$e = \cos\theta' \tag2$ Entonces, si un cono y un cilindro tienen una intersección plana (por lo tanto, elíptica), entonces el eje mayor de la elipse forma ángulos

θ

$\theta$ y

θ^{'}

$\theta'$ con sus respectivos ejes, tal que

\begin{matrix} (3) & porque θ^{'} = \frac{porque θ}{porque ϕ} \end{matrix}

$\cos\theta'=\frac{\cos\theta}{\cos\phi} \tag3$ Así, dado cualquier plano que corte un cono en una elipse, podemos encontrar un cilindro apropiado que tenga la elipse como su intersección. (Técnicamente, la elipse puede ser solo parte de la intersección general).

ϕ

$\phi$ y

θ

$\theta$ , usamos

(3)

$(3)$ encontrar

θ^{'}

$\theta'$ . (Nota: Dado que el plano corta el cono en una elipse, sabemos

1 > e = \cos θ^{'}

$1>e=\cos\theta'$ de modo que

θ^{'}

$\theta'$ está definido.) Este ángulo determina el eje del cilindro a través del centro de la elipse; de hecho, por

θ^{'} \neq π / 2

$\theta'\neq \pi/2$ , tenemos dos posibilidades para ese eje. El radio del cilindro deseado es necesariamente el radio menor de la elipse. Entonces, generalmente, hay dos familias de configuraciones (esencialmente parametrizadas por

θ

$\theta$ y un factor de escala, y la elección del eje del cilindro) de conos y cilindros que tienen una intersección (parcialmente) plana, sin requisito de que el cono y el cilindro tengan ejes paralelos.

Dicho esto, en el caso particular donde el cono y el cilindro tienen ejes paralelos, entonces $\theta=\theta'$ . Asumiendo $\phi\neq 0$ (el cono no es degenerado), entonces la única forma de satisfacer $(3)$ Es con $\cos\theta=\cos\theta'=0=e$ : la intersección es un círculo. Claramente, el eje del cilindro coincide necesariamente con el del cono. Una configuración de "desplazamiento" ( $a\neq 0$ en la pregunta) no es válido, reconfirmando las conclusiones hechas en otras respuestas.

david k · Answer 3

El error en el documento ocurre en la primera ecuación. De hecho,

b \neq \frac{r + R}{2} .

$b \neq \frac{r + R}{2}.$

El eje menor de la elipse se encuentra en un plano a medio camino entre el plano del círculo de radio $r$ y el plano de la circunferencia de radio $R,$ y ese plano corta al cono en un círculo de radio $(r + R)/2.$ Pero el eje menor de la elipse no es un diámetro de ese círculo. El centro de la elipse está a una distancia $(R - r)/2$ del centro del círculo. Por lo tanto

b^{2} = {(\frac{r + R}{2})}^{2} - {(\frac{R - r}{2})}^{2} = r R .

$b^2 = \left(\frac{r + R}{2}\right)^2 - \left(\frac{R - r}{2}\right)^2 = rR.$

Eso es, $b = \sqrt{rR},$ entonces $b$ es la media geométrica de $r$ y $R$ , no su media aritmética .

Además, de esta respuesta sabemos que una elipse dada puede ser producida por un cono cuyo vértice se encuentra en cualquier parte de cierta hipérbola en un plano perpendicular al plano de la elipse, y que el eje del cono debe ser tangente a la hipérbola. Por tanto, el ángulo que forma el eje con el plano de la elipse varía según el punto de la hipérbola que sea el vértice. Por otro lado, hay exactamente dos cilindros cuya intersección con el plano es la elipse dada, y el ángulo que forma el eje de uno de estos cilindros con el plano está determinado por la razón $a/b.$

Entonces, en general, dado un cono que corta un plano en una elipse, el eje del cilindro que corta el mismo plano en la misma elipse no será paralelo al eje del cono. El cilindro es el caso límite de un cono producido por un punto de la hipérbola muy alejado del plano. El ángulo entre el eje del cono y el eje del cilindro puede aproximarse pero nunca ser igual a cero.

buba · Answer 4

La intersección de dos superficies cuádricas (incluidos conos y cilindros) es plana si y solo son tangentes a una tercera cuádrica común. En el caso de cilindros y conos, esta tercera cuádrica siempre será una esfera, creo. Más aquí .

¿Cuándo es plana la intersección de un cono y un cilindro?

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Papa

Jan-Magnus Økland

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david k

buba

¿Qué valores da el área mínima de la elipse?

Desde un punto de un círculo dado, se dibujan tangentes a la elipse. Necesidad de encontrar el lugar geométrico de la cuerda de contacto.

Ecuación para paraboloide 3D en el eje x

Propiedad de las elipses que involucran normales en los extremos de una cuerda focal y el punto medio de esa cuerda

¿Cómo encontrar la ecuación de una parábola dadas las ecuaciones tangentes a dos puntos?

Elipses dado foco y dos puntos

Demuestre que las asíntotas de una hipérbola son sus tangentes en los puntos infinitos

Encuentra la distancia más corta entre el punto y una parábola

Encuentre la(s) intersección(es) entre una parábola parametrizada y una línea

Cinco puntos se encuentran todos en la cónica.