¿Cómo encontrar la ecuación de una parábola dadas las ecuaciones tangentes a dos puntos?

Tu solución es correcta suponiendo que el eje de la parábola es paralelo al$y$-eje. Sin embargo, este no es el caso para pares arbitrarios de punto-tangente. En particular, con$x_1=-10$,$\alpha=60°$,$y_2=10$,$\beta=30°$, el eje de la parábola está inclinado 45° con respecto a la$y$-eje, por lo que no puede ser representado por una ecuación de la forma$y=ax^2+bx+c$.

Debe comenzar con una ecuación más general de una parábola, como$(Ax+By)^2+Dx+Ey+F=0$. Otro enfoque es usar una parametrización cuadrática de Bézier, para la cual tiene suficiente información, y eliminar el parámetro para obtener una ecuación cartesiana implícita para la parábola.

Usando el último método con su ejemplo, el tercer punto de control es la intersección de las dos líneas tangentes, que puede encontrar que son$\left(-15+5\sqrt3,15-5\sqrt3\right)$, que produce la parametrización

$$x = -10(1-t)^2+10(\sqrt3-3)(1-t)t \\ y = -10(\sqrt3-3)(1-t)t+10t^2.$$ eliminando $t$da como resultado la ecuación $$x^2+2xy+y^2-20(2+\sqrt3)x+20(2+\sqrt3)y-500-200\sqrt3=0.$$

Un polinomio que pasa por el punto$(x_1,y_1)$con pendiente$m,$y$(x_2,y_2)$con pendiente$n.$

$f(x) = y_1 + m(x - x_1)+ \frac {(x-x_1)^2}{(x_2-x_1)^2} (y_2-y_1)+\frac {(x-x_1)^2(x-x_2)}{(x_1-x_2)^2}(n-m)$

Sus condiciones de contorno son más que suficientes, esa es exactamente la spline cúbica:

$$\begin{align*} p(x) &= \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b) \\ & \quad + (x-a)(x-b)\left \{ \frac{x-b}{(a-b)^{2}} \left[ f'(a)-\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right]+ \frac{x-a}{(b-a)^{2}} \left[ f'(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right] \right \} \end{align*}$$

A menos que$\dfrac{f'(a)+f'(b)}{2}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$que da una parábola vertical.

La ecuación general de una parábola es

$$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0, \quad ab-c^2=0$$

Por el$4$condición dada, estableciendo por ejemplo$f=1$debemos encontrar la solución.