¿Cuáles son los usos prácticos de una matriz de transición de estado?

Desde lo alto de mi cabeza se me ocurrieron las siguientes aplicaciones prácticas para las matrices de transición de estado. Tenga en cuenta que la aplicación a la que se hace referencia en la pregunta se captura en el punto 3. Además, no explico la teoría de las matrices de transición de estado, ya que eso ya se hizo aquí .

1. Propagación de covarianza

La posición y la velocidad de la nave espacial siempre se conocen con cierta precisión después de realizar la determinación de la órbita. Con el fin de evitar colisiones, es deseable saber cómo se propaga la incertidumbre del estado a lo largo del tiempo. Entonces, la incertidumbre representa un 'volumen' alrededor del satélite en el que es probable que se encuentre el satélite en el futuro. Se puede encontrar una buena aproximación de la incertidumbre propagada realizando una simulación de Monte Carlo, donde el estado inicial suele variar utilizando una distribución gaussiana. Sin embargo, para obtener un resultado confiable, posiblemente necesite propagar 1000 (o incluso más) órbitas para condiciones iniciales ligeramente diferentes, lo cual es computacionalmente intensivo. Sin embargo, cuando se usan matrices de transición de estado, se puede encontrar una matriz de covarianza aproximada usando una sola operación de matriz como

dónde$\Phi(t,t_0)$es su matriz de transición de estado y$\textbf P(t)$la matriz de covarianza. Similar a la matriz de transición de estado$\Phi(t,t_0)=\partial \textbf x/\partial \textbf x_0$, el cambio linealizado en el estado en función del tiempo debido al cambio en el vector de parámetros$\textbf p$es la matriz de sensibilidad. Esta matriz se denota como$\textbf S(t)=\partial \textbf x/\partial \textbf p$. El vector de parámetros normalmente incluye coeficientes como el coeficiente de arrastre ($C_D$) o coeficiente de reflectividad ($C_r$) del satélite. A menudo se considera que la matriz de sensibilidad incluye la incertidumbre de estos parámetros mediante el uso de la matriz$\Psi$, tal que

y la covarianza está dada por

Para órbitas alrededor de la Tierra, a menudo se usa la aproximación usando el STM. También se implementa en paquetes de software comercial como STK, que se analiza más aquí . Si el tiempo de propagación no es superior a unos pocos días, el error de linealización suele ser lo suficientemente pequeño para fines prácticos.

2. Determinación de órbita precisa (POD)

También para la implementación de un algoritmo de determinación de órbita, como un lote de mínimos cuadrados o filtro de Kalman, se requiere el STM para representar la dinámica. Este documento muestra la teoría matemática detrás de esto. Para obtener mejores estimaciones de órbita, se incluyen muchos STM de perturbación. Para la determinación precisa de la órbita, normalmente se incluyen todas las perturbaciones importantes, como armónicos esféricos, arrastre, etc. También se puede incluir la incertidumbre de los parámetros del entorno, como los coeficientes del modelo de armónicos esféricos. De hecho, cuando la posición se puede determinar con gran precisión, como para una misión como GRACE, se pueden determinar estos coeficientes ambientales.

3. Guiado, Navegación y Control

Como se sugiere en la pregunta, el STM también es útil para propósitos de GNC. En particular para maniobras de encuentro y mantenimiento de la posición en vuelo en formación, ya que el error de linealización es pequeño para estas pequeñas distancias (véanse las ecuaciones de Clohessy-Wiltshire ). El enfoque STM se utiliza principalmente para un control óptimo en línea robusto de las maniobras necesarias para el mantenimiento o acoplamiento de la estación (por ejemplo, mediante el uso de un regulador cuadrático lineal (LQR)). En el caso de vuelo en formación, éste es de gran interés para reducir el consumo de combustible, de forma que se maximice la duración de la misión. Para algunas órbitas más excéntricas (siendo 'menos lineales'), también existen adopciones que tienen en cuenta la órbita elíptica o también a veces la$J_2$efecto (por ejemplo, modelos Gim-Alfriend y Yan-Alfriend). Los modelos más complicados son necesarios en estos casos para reducir el error de linealización, especialmente cuando el objetivo y el perseguidor están muy separados.

4. Diseño de órbita (para CR3BP)

Como se explica aquí , los STM son útiles para determinar una solución inicial para las órbitas de Halo. Aún más, los STM se pueden usar para evaluar la estabilidad de la órbita obtenida si se integran junto con las ecuaciones de movimiento. Similar a la propagación de covarianza, el STM puede dar información sobre cómo un pequeño error en el estado inicial cambiará la trayectoria final.

Conclusión

Como se sugiere en su pregunta, las matrices de transición de estado en principio se usan principalmente para reducir los tiempos de cálculo, pero también resultan útiles para el conocimiento de la situación espacial, la determinación de la órbita o el diseño de la órbita. Por supuesto, el usuario siempre debe tener en cuenta que se trata de una aproximación lineal y que las trayectorias numéricas integradas son una mejor opción para la mayoría de los propósitos.