¿Cuál fue la motivación de Planck para la dependencia de la frecuencia en E=nhνE=nhνE=nh\nu?

Muchos relatos de la historia de la física cuántica explican cómo Planck recurrió a la cuantificación de la energía en un "acto de desesperación" al intentar resolver la radiación del cuerpo negro, solo para descubrir por sorpresa que un valor distinto de cero de h en mi = norte h v resultados experimentales reproducidos.

  1. ¿Cuál fue la motivación de Planck detrás de la v dependencia en esta expresión?
  2. ¿Proporcionó la física clásica alguna pista sobre esta dependencia de la frecuencia?

Einstein usó esta misma relación para ayudar a explicar el efecto fotoeléctrico, pero eso vino después.

Finalmente, para enfatizar por qué tengo esta pregunta, considere estos hechos aparentemente contradictorios:

  • Planck estaba tratando las ondas EM cuantificadas como osciladores armónicos. Sin embargo, la relación entre energía y frecuencia para un oscilador armónico clásico tiene una dependencia cuadrática : mi = 1 2 metro ω 2 A 2 = 2 π 2 metro v 2 A 2 , dónde A es la amplitud.
  • En la teoría electromagnética clásica , la densidad de energía promedio de una onda plana en el vacío no depende de la frecuencia: tu = 1 2 ϵ o mi o 2 , dónde mi o es la amplitud de la parte del campo eléctrico de la onda.
  • Es fácil imaginar postular mi = norte h como un primer intento de cuantificar la energía. El norte parte de esta expresión es la pieza de cuantización, que era una idea nueva que puedo entender como una conjetura esperanzada o un truco matemático, pero la v parte parece a priori desmotivada, y esto no se aborda en ninguna de las fuentes que revisé.
h no tiene unidades de energía. Para que las dimensiones funcionen, necesita que se multipliquen por algo con 1/unidades de tiempo.
Pero esta fue la primera aparición de h , por lo que era libre de asignarle las unidades que hubiera exigido la ecuación.
Como primera aproximación: porque funcionó. Planck ya tenía una expresión analítica que se ajustaba bien a los resultados experimentales, y esta hipótesis le permitió *alguna forma de base para derivarla. En esa etapa eso era suficiente.
Leí en alguna parte que Planck estaba tratando de descubrir cómo solucionar el hecho de que el análisis clásico de la radiación del cuerpo negro conduce a una potencia emitida infinita. Descubrió que discretizar la energía en cada modo conduce a un poder no divergente, por lo que siguió adelante. Supuestamente, vio esto como un acto de desesperación porque no tenía ninguna razón física para pensar que la energía debería ser discreta.

Respuestas (1)

En el artículo original de Planck ( http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf ), primero postula que la energía interna total de un grupo de osciladores podría ser un múltiplo entero de un "elemento de energía" ϵ . Usando esta suposición, encuentra que la entropía por oscilador de una colección de osciladores debe ser aproximadamente

S = k [ ( 1 + tu ϵ ) registro ⁡ ( 1 + tu ϵ ) − tu ϵ registro ⁡ tu ϵ ]

Al mismo tiempo, la Ley de Wien, que era un resultado bien conocido en ese momento, predice que la entropía por oscilador debería tomar la siguiente forma funcional:

S = F ( tu v )

para alguna funcion F . Planck comparó estas dos expresiones y se dio cuenta de que la única manera de que la mecánica estadística y la Ley de Wien sean consistentes es si

ϵ = h v

por alguna constante h .

En resumen, comenzó con la suposición de que la energía estaba cuantificada. Se requería la dependencia del cuanto de energía de la frecuencia para mantener la coherencia con la Ley de Wien.

¡Gracias! Esto es muy específico y útil. La única curiosidad que me queda es si este resultado tiene alguna analogía clásica. ¿O es una pieza completamente axiomática de teoría cuántica con motivación experimental (Ley de Wien) pero sin origen teórico?
@WillG ¿Qué está buscando específicamente en una "analogía clásica"? Y la cuantización de la energía no es exactamente axiomática en la mayoría de los tratamientos de la teoría cuántica. El axioma del que se deriva es la definición de evolución temporal por la ecuación de Schrödinger o la relación de conmutación entre posición y momento. No hay acuerdo aquí sobre "qué viene primero" lógicamente, porque usted es en gran medida libre de elegir cualquier axioma que explique el experimento. ( hsm.stackexchange.com/questions/3184/… ).
A pesar de mi = h v se puede derivar rigurosamente de la ecuación de Schrödinger, entiendo que mi = h v ayudó a motivar esta ecuación en primer lugar. (Puede llegar a la ecuación de Schrödinger suponiendo mi = pag 2 2 metro + V es válido para ondas planas de la forma ψ = A mi i ( k X − ω t ) , junto con mi = ℏ ω y pag = ℏ k .) De todos modos, dado que ahora hay personas que afirman poder "derivar" QM de axiomas de probabilidad puramente matemáticos ( arxiv.org/pdf/quant-ph/0101012.pdf ), esperaría al menos alguna forma de a priori justificación para mi = h v .
@WillG ¿Estás preguntando por la justificación que usamos hoy, o la justificación que usó Planck en su tiempo? Porque lo último ya está en la respuesta, y lo primero es una pregunta completamente diferente.
Idealmente, me gustaría saber ambos: el mejor razonamiento de Planck en ese momento (que usted ha dado) y nuestra mejor explicación actual de "por qué". mi = h v . Supongo que la segunda parte merece un hilo aparte, y varios descargos de responsabilidad sobre los axiomas de los que partimos.
@WillG Sí, idealmente esa sería una pregunta separada, ya que las respuestas serían completamente diferentes.
¿Cuál fue la motivación de Planck para la dependencia de la frecuencia en E=nhνE=nhνE=nh\nu?
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