Momento electromagnético

No conozco los experimentos ni la historia, pero aquí hay tres cálculos clásicos que te dan lo que quieres:

Método 1: carga de prueba y onda electromagnética plana

Como en la sección 34-10 del primer volumen de Feynman Lectures on Physics, piense en una onda plana y una carga de prueba en el origen. En este punto, deja$\mathbf{E} = E \,\hat{\mathbf{x}}$,$\mathbf{B} = \frac{E}{c} \,\hat{\mathbf{y}}$: esta es una solución de onda plana de las ecuaciones de Maxwell. Entonces la carga estará oscilando en el$\hat{\mathbf{x}}$-dirección, supongamos que en el instante de tiempo bajo consideración se está moviendo con velocidad$\mathbf{v} = v\,\hat{\mathbf{x}}$. La tasa de trabajo del campo electromagnético sobre la partícula a través del campo eléctrico es$P = q \,E \,v$, por lo que la carga está absorbiendo energía del campo a esta velocidad. Tenga en cuenta que la fuerza eléctrica sobre la partícula es oscilatoria y tiene un tiempo promedio de cero. Pero, al mismo tiempo, la fuerza magnética sobre la partícula es$\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\wedge \mathbf{B}$y$F=q\,v\,\frac{E}{c}$.$\mathbf{E}$y$\mathbf{B}$están en fase, y la velocidad de la partícula en estado estacionario tiene una relación de fase constante con$\mathbf{B}$, por lo tanto$P$y$\mathbf{F}$oscilan en fase al doble de la frecuencia de la luz y con un promedio de tiempo distinto de cero, y la relación de este promedio, a partir de lo anterior, es$\frac{P}{F} = \frac{q \,E \,v}{q\,v\,\frac{E}{c}} = c$. La fuerza es simplemente la tasa de transferencia de impulso en el tiempo. Así, cada vez que el campo electromagnético transfiere energía$W$a una partícula, también transfiere cantidad de movimiento$\frac{W}{c}$.

Método 2: Contenido de inercia de energía

Imaginamos un pulso de energía$W$emitida por un extremo de una nave espacial y absorbida por el otro. Pero el contenido de inercia de este pulso es$\frac{W}{c^2}$. Entonces, superficialmente parece que el centro de masa del sistema se está desplazando (a causa de la energía en movimiento) mientras el pulso de luz está en vuelo. Se violaría la conservación de la cantidad de movimiento si esta suposición fuera cierta. Sin embargo, se puede resolver la contradicción si se supone que la nave espacial siente un retroceso en el lanzamiento del pulso de luz. Entonces, si la masa de la nave espacial es$M$, tiene que moverse en dirección opuesta a la luz con velocidad$c \frac{W}{c^2} \frac{1}{M}$, porque esta velocidad mantendrá quieto el centro de masa del sistema. Así, obtenemos$\frac{W}{c}$por el impulso del pulso.

Observe cómo si usáramos el método inverso del 2 junto con el método 1 (es decir, conociendo la presión de radiación y, por lo tanto, el empuje de la nave espacial), podríamos deducir a partir de los primeros principios que la masa efectiva de la luz necesaria para mantener la conservación del impulso es$\frac{E}{c^2}$.

Método 3: Incidente de onda plana en un metal

En realidad, este es un caso especial del método 1 (que es más general), pero tiene un parámetro ajustable (la conductividad del espejo) que se puede usar para ilustrar dos comportamientos separados. estoy usando la convención$\partial_t \mapsto -i\,\omega$dónde$\omega$es la frecuencia angular del campo.

Deja el$x-y$avión ( es decir $z=0$) ser la cara de un espejo: porque$z<0$tenemos el espacio libre caracterizado por las constantes eléctricas y magnéticas del espacio libre$\epsilon_0$y$\mu_0$, para$z>0$tenemos un metal de constante electrica$\epsilon$, constante magnética$\mu$y conductividad$\sigma$. En el espacio libre hay una onda plana de onda incidente tal que en el plano$z=0$:

Campo eléctrico:$\mathbf{E} = E_i \hat{\mathbf{x}}$

Campo magnético:$\mathbf{H} = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}\, E_i \hat{\mathbf{y}}$

y también hay una onda plana reflejada ($E_r$debe deducirse) tal que:

Campo eléctrico:$\mathbf{E} = E_r \hat{\mathbf{x}}$

Campo magnético:$\mathbf{H} = -\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}\, E_r \hat{\mathbf{y}}$

El signo opuesto asumido en el campo magnético representa una onda con el vector de onda apuntando en el$-\hat{\mathbf{z}}$dirección. La onda incidente corre en el$+\hat{\mathbf{z}}$. En el metal, el campo tiene la siguiente dependencia, como se puede demostrar al encontrar una solución de onda plana a las ecuaciones de Maxwell (nuevamente, se debe deducir E_m):

Campo eléctrico:$\mathbf{E} = E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{x}}$

Campo magnético:$\mathbf{H} = -i\,\frac{\gamma}{\omega\,\mu}\, E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{y}}$

Densidad actual:$\mathbf{J} = \sigma\,E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{x}}$

donde el número de onda complejo es:

$\gamma = \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \sqrt{\omega\mu\left(\sigma-i\, \omega\,\epsilon\right)}$

es elegido (hay dos posibles$\pm$valores de las ecuaciones de Maxwell para$\gamma$) de modo que el campo decae exponencialmente como$z\rightarrow\infty$.

A partir de las condiciones de contorno electromagnéticas estándar en la interfaz (continuidad de componentes tangenciales de$\mathbf{E}$y$\mathbf{H}$a través de la interfaz):

$E_i + E_r = E_m$

$E_i - E_r = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\,E_m$

De dónde:

$E_m = \frac{2\,E_i}{1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}}$

Ahora, la fuerza promediada en el tiempo por unidad de área sobre el metal es:

$\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\int\limits_0^\infty \mathbf{J} \wedge \mathbf{B}^* . \hat{\mathbf{z}}\right) = \frac{\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma\,|E_m|^2}{4\,\omega\,\mathrm{Re}(\gamma)} = \frac{\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma\,|E_i|^2}{\omega\,\mathrm{Re}(\gamma) \left|1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\right|^2}$

Ahora, la potencia promediada en el tiempo por unidad de área incidente en la interfaz (mediante el cálculo del vector de Poynting) es:

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} |E_i|^2$

de modo que la cantidad de movimiento transferida al metal por cada unidad de energía incidente es:

$\frac{2\,\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma}{\omega\,\mathrm{Re}(\gamma) \left|1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\right|^2} \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$

Esta es la proporción que buscamos. Para el caso$\sigma\rightarrow \infty$esta proporción se aproxima$\frac{2}{c}\frac{\mu}{\mu_0}$. Para$\mu = \mu_0$, este es el doble del valor calculado en los métodos 1 y 2 porque la conductividad infinita excluye el campo del metal, no hay pérdida y la luz se refleja sin pérdida. Entonces, así como hay un impulso$2\,p_z$transferido a una pared por un rebote elástico de una pelota inicialmente con cantidad de movimiento con componente$p_z$en la pared, así también el impulso transferido al espejo de la energía$W$es el doble del impulso de la luz entrante, es decir $\frac{2\,W}{c}$.

ahora dejamos$\sigma\rightarrow 0$de modo que$\gamma\approx -i \,\omega\,\sqrt{\mu\,\epsilon} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \sigma$. Terminaré este caso más tarde, pero arroja la misma respuesta que los métodos 1 y 2 cuando$\mu = \mu_0$y$\epsilon = \epsilon_0$, es decir, la luz pasa sin reflexión a un medio débilmente conductor y es absorbida.

Las ecuaciones de Maxwell no son consistentes con la relatividad galileana. Son implícitamente relativistas. En relatividad, la definición de masa es$m^2=E^2-p^2$. Por un rayo de luz,$m=0$, entonces$E=|p|$.