¿Cómo exactamente la aplicación del Teorema de Equipartición a la radiación conduce a una catástrofe UV?

El problema que creo que tienes es que una vez que asumes una declaración falsa, puedes probar cualquier cosa. Entonces, todo lo que dijo en el segundo párrafo es cierto si trata el problema de manera clásica. Tiene razón en que cada modo de onda estacionaria electromagnética en la cavidad no tendría energía, por lo que no habría energía electromagnética en absoluto, incluso a temperatura finita.

Sin embargo, esta no es la línea exacta de razonamiento que pretendía el autor. El autor razonó de la siguiente manera:

1. Sabemos por experiencia que solo se necesita una cantidad finita de energía$E$elevar la temperatura de una caja de metal hueca (cavidad de radiación) en cierta temperatura$\Delta T$.

2. Sabemos por equipartición que esta energía$E$debe dividirse uniformemente entre cada modo de la cavidad

3. Dado que hay un número infinito de modos, la energía de cada modo debe aumentar en$E/\infty$, pero esto es cero, por lo que ningún modo tendrá más energía después de que se eleve la temperatura.

Estos tres primeros puntos están bastante de acuerdo con lo que dice. Entonces creo que su siguiente punto es algo como esto

1. Sabemos que si bombeamos energía a un modo de baja frecuencia y esperamos, el sistema se termalizará, por lo que la energía se transferirá a modos de mayor frecuencia.

2. Sabemos por experiencia que nuestra cavidad seguirá emitiendo radiación después de la termalización.

3. Debido a la equipartición, esperamos que gran parte de la radiación ocurra en frecuencias más altas. Esto contradice la experiencia, porque nunca vemos un cuerpo negro a temperatura ambiente emitiendo rayos X.

Ahora, la forma en que me enseñaron la catástrofe ultravioleta fue la siguiente. Tratamos de calcular la energía total$E$del sistema a temperatura$T$. Esta será la suma de todos los modos.$\nu$de la energía en ese modo$E_\nu$. Dado que hay modas con valores arbitrariamente altos$\nu$, esta suma es en realidad infinita, por lo que se puede escribir como un límite:

$$E = \lim_{\nu^* \to \infty} \sum_{\nu=0}^{\nu^*} E_\nu.$$ Ahora clásicamente cada $E_\nu$debería ser $kT$, de modo que nuestra ecuación se convierte en $$E = \lim_{\nu^* \to \infty} \sum_{\nu=0}^{\nu^*} kT = \lim_{\nu^* \to \infty} kT N(\nu < \nu^*),$$ dónde $N(\nu < \nu^*)$es el número de modos con frecuencia $\nu$menos que $\nu^*$. Ahora, cuando $\nu^*$es empujado más y más alto (hacia el ultravioleta), $N(\nu < \nu^*)$sigue aumentando sin límite, por lo que la estimación de la energía total $E$sigue haciéndose más y más grande. El hecho de que $E$parece volverse infinito cuando pones $\nu^*$más y más profundo en el ultravioleta es por eso que se llama la catástrofe ultravioleta.

Así que ahora han visto la catástrofe ultravioleta explicada en varias formas. La forma en que el autor lo explicó, asumió una energía total finita y dividió esta energía entre un número infinito de modos para obtener energía cero por modo. Yo diría que la catástrofe de la "energía que desaparece" es un buen nombre para esto. La forma en que lo expliqué fue asumir una energía finita constante por modo, y hacer que la energía diverja a medida que se consideran frecuencias más y más altas. Tiene más sentido llamar a ésta la catástrofe ultravioleta. De cualquier manera, está claro que algo anda mal.

La distribución de Rayleigh-Jeans para la radiación del cuerpo negro (basada en la equipartición clásica de energía) diverge a medida que aumenta la frecuencia .

Esto sucede porque los grados de libertad de energía asumidos como continuos conducen a este tipo de función de distribución.

La equipartición clásica asigna a cada grado de libertad una energía media igual a$kT$

Derivación de la distribución de Rayleigh-Jeans

1. Suponga una cavidad cúbica de longitud$L$, las ondas estacionarias se producen para la radiación de una longitud de onda$\lambda$solo si un número entero de ciclos de media onda caben en un intervalo en el cubo. Para radiación paralela a un borde del cubo esto requiere$\lambda = 2L/m$

2. La frecuencia es$ν = cm/(2L)$, el número de onda es$q = 2πν/c$, para el cubo$q^2 = \pi^2(m/L)^2$

3. Dejar$m_x$ $m_y$ $m_z$denote los números enteros para las tres direcciones diferentes en el cubo, entonces la condición para una onda estacionaria en el cubo es que$m_c^2 + m_y^2 + m_z^2 = 4L^2ν^2/c^2$

4. El volumen de una capa esférica de radio interior$R$y radio exterior$R+dR$es dado por:$dV = 4\pi R^2dR$, si$R^2 = m_x^2+m_y^2+m_z^2$entonces$dR=2Ldν/c$

5. Entonces$dV = 4\pi(2Lν/c)^2(2L/c)dν = 32\pi(L^3ν^2/c^3)dν$

6. Para el caso tridimensional las combinaciones no negativas (de$m_x,m_y,m_z$) consisten aproximadamente en un octante del total. Así el número$dN$para las combinaciones no negativas de ($m_x,m_y,m_z$) en este volumen es igual a$\frac{1}{8}dV$y por lo tanto$dN = 4\pi ν^2dν$

7. La energía cinética promedio por grado de libertad es$\frac{1}{2}kT$. Para los osciladores armónicos existe una igualdad entre la energía cinética y la potencial, por lo que la energía promedio por grado de libertad es$kT$. La energía de radiación promedio$E$por unidad de frecuencia viene dada por:$dE/dν = kT(dN/dν) = 4\pi kT(L^3/c^3)ν^2$y la densidad de energía media,$u_ν$, es dado por:$du_ν/dν = (1/L^3)(dE/dν) = 4\pi kTν^2/c^3$

8. Para dos direcciones de polarización, un factor de$2$debe incluirse:$du_ν/dν = 8\pi kTν^2/c^3$

Planck resolvió esto suponiendo que la energía se cuantiza y se intercambia en cuantos (por lo tanto, no de manera clásica) Usando esta fórmula ^{1 , 2}

que deriva la distribución correcta

Referencias:

1. M. Planck , 1900 Sobre una mejora de la ecuación de Wien para el espectro
2. M. Planck , Annalen der Physik, vol. 4, pág. 553 ff (1901) Sobre la ley de distribución de energía en el espectro normal