¿Cuál es la relación exacta entre la antimateria y la relatividad?

Para comprender mejor la relación, es mejor rastrear la historia de los descubrimientos tal como se hicieron en los primeros días de la teoría cuántica de campos.

Comencemos con la ecuación de Schrödinger:

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t, {\bf x}) = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(t, {\bf x}).$$

Describe una partícula newtoniana cuántica. La terminología estándar es usar la palabra "clásico" para "no cuántico" y "newtoniano" para "no relativista".

La ecuación de Schrödinger en el vacío se puede resolver fácilmente. Sus soluciones son ondas planas.

$$\Psi_{\bf k}(t, {\bf x}) = e^{-i E({\bf k}) t + i {\bf k} {\bf x}},$$

dónde$E({\bf k}) = {\bf k}^2 / 2m$es la fórmula newtoniana para la energía de la partícula. La onda no es normalizable, lo que indica que los estados físicos reales son superposiciones de ondas sujetas a restricciones adicionales (el subespacio relevante de$L_2(\mathbb{R}^3)$se llama el espacio de Sobolev, consiste en decaer exponencialmente en funciones de onda espaciales infinitas).

Sin embargo, hay una interpretación física directa de una sola onda.$\Psi_{\bf k}$– es un estado propio del operador de cantidad de movimiento con valor propio${\bf k}$. Entonces describe una partícula de energía positiva.$E$y el impulso${\bf k}$. Hasta ahora, todo bien.

Pero la ecuación de Schrödinger, a pesar de ser un gran éxito, tiene un gran problema conceptual: no es relativista.

Ahora hay una ecuación de onda relativista llamada ecuación de Klein-Gordon:

$$\frac{\partial^2}{c^2\,\partial t^2} \Psi(t, {\bf x}) - \Delta \Psi(t, {\bf x}) + m^2 \Psi(t, {\bf x}) = 0.$$

Ver que esta ecuación es relativista es sencillo: simplemente reescriba como

$$\left( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + m^2 \right) \Psi = 0,$$

que es manifiestamente invariante de Lorentz.

¿Cómo le damos sentido a sus soluciones? ¿Cuáles son las soluciones?

Bueno, una estrategia obvia sería conectar la onda plana$\Psi_{{\bf k}, E}$. Encontrará que, de hecho, es una solución de la ecuación de Klein-Gordon, si

$$E({\bf k}) = \pm c \sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2},$$

la expresión en la que fácilmente se puede encontrar la fórmula de Einstein para la dependencia relativista de la energía en el momento.

Por lo tanto, tenemos un buen límite$c \rightarrow \infty$en el que la Relatividad Especial se convierte en física newtoniana. Por supuesto, lo que realmente sucede es$k \ll m c$, lo que justifica el establecimiento$c$a$\infty$ya que es mucho más grande que la escala típica de la dimensión$m/s$cual es$k/m$.

Pero ahora este límite, del que ya sabíamos en el curso de introducción a la Relatividad Especial, aparece en la teoría cuántica . Por ejemplo, esto es ahora un límite de ondas:

$$e^{-ic\sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2} + i {\bf k} {\bf x}} \rightarrow e^{-i m c^2 t} e^{-i c t {\bf k}^2 / 2m + i {\bf k} {\bf x}}.$$

Esto es genial: tenemos un límite no relativista en la teoría cuántica, por lo que la ecuación de Klein-Gordon puede considerarse como la descripción más profunda y fundamental de una partícula (porque es tanto cuántica como relativista), pero... Ignoramos por completo la otra clase de soluciones, las que tienen$E$negativo (recuerda lo raro$\pm$signo delante de la raíz cuadrada?).

Las soluciones de energía negativa no tienen equivalentes newtonianos. ¡Simplemente no los encontramos cuando analizamos la ecuación de Schrödinger! Al mismo tiempo, son omnipresentes en la Relatividad Especial: su existencia se remonta a una de las identidades cinemáticas más famosas que mantienen unida a toda la física moderna: la fórmula de Einstein.

$$E^2 - {\bf k}^2 c^2 = m^2 c^4.$$

De hecho, esa fórmula es cuadrática en$E$, y por lo tanto si$E_0$es una solución, entonces también lo es$-E_0$.

¿Cómo interpretar esas soluciones? ¿Qué significa que una partícula tenga energía negativa y por qué no se observó esto en los experimentos?

Dirac estaba considerando un tipo diferente de ecuación de onda, la que describe una partícula con espín$1/2$. Es mayormente análogo a Klein-Gordon: una versión newtoniana para spin$1/2$también existe (llamada ecuación de Pauli) y la ecuación de Dirac admite soluciones de energía positiva y negativa, de las cuales las de energía positiva tienen una buena interpretación en términos de soluciones a la ecuación de Pauli en el límite newtoniano, y las soluciones negativas no. Así que el problema es esencialmente el mismo.

Pero hay una distinción importante: las partículas de Dirac son fermiones, es decir, obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac y, por lo tanto, al principio de exclusión de Pauli. Esto solo se puede entender en una teoría de partículas múltiples, en el nivel de una teoría de partículas individuales, las estadísticas de intercambio no existen.

Esto llevó a Dirac a plantear la hipótesis de que los estados de energía negativa ya están perfectamente llenos en lo que llamamos el vacío (el objeto resultante se llama el mar de Dirac). Esa fue, en ese momento, la única buena solución a la existencia de estados de energía negativa. Pero la existencia del mar significa que así como los estados de energía positiva, que no se llenan en el vacío, se pueden llenar (lo que interpretamos como electrones individuales), los estados de energía negativa que se llenanllenado en el vacío, puede ser desocupado. El "agujero" resultante se comportaría exactamente como un electrón, excepto que todos sus números cuánticos se invertirían (porque en realidad es un agujero, es decir, la ausencia de un electrón esperado). Esto incluye su energía y carga electromagnética. Pero debido a que este es un estado de energía negativa, el agujero en realidad se comportaría como una partícula de energía y carga positiva: un positrón.

Es sorprendente lo poco que ha cambiado el panorama desde entonces. Si observa la formulación moderna de la QFT relativista de electrones, su espacio de Fock tendría exactamente la misma estructura que el mar de Dirac. Este espacio de Fock es generado por un álgebra de operadores de creación/aniquilación cuantificados por Fermi para electrones y positrones. Una de las propiedades de la cuantización de Fermi es que los estados vacío y lleno están en pie de igualdad, lo que significa que la materia y la antimateria están en pie de igualdad en la QFT.

La situación es un poco diferente con el problema original, el de la ecuación de Klein-Gordon. Describe partículas de espín 0 que son bosones, por lo que el principio de exclusión de Pauli no está a nuestra disposición y la construcción del mar de Dirac no funciona.

Sorprendentemente, parece que la solución QFT todavía funciona. El espacio bosónico de Fock es generado por operadores de creación/aniquilación cuantizados por Bose para partículas y antipartículas.

Finalmente, ¿cómo podemos asegurarnos de que la teoría resultante no tenga partículas de energía negativa? Nos fijamos en el hamiltoniano de la propia QFT, no en el hamiltoniano de la partícula individual:

$$H = \sum_{\bf k} \left( E_{\bf k} a_{\bf k}^{\dagger} a_{\bf k} + E_{\bf k} b_{\bf k}^{\dagger} b_{\bf k} \pm \frac{1}{2} \right)$$

dónde$a$y$b$son los operadores de aniquilación para partículas y antipartículas respectivamente, y$\pm$corresponde al caso bosónico/fermiónico respectivamente (para el campo de Dirac, se entiende una suma sobre índices de espín). Es fácil demostrar que el estado de vacío$\left| 0 \right>$del QFT (definido como el estado aniquilado por todos$a$y$b$) es el estado de menor energía, lo que significa que$H$está delimitado por abajo.

Por lo tanto, no hay estados de energía negativa en el QFT. En cambio, hay anti-partículas. Las antipartículas son las manifestaciones multipartículas de la existencia de soluciones de energía negativa, que son ubicuas en la Relatividad Especial.

Espero que esto responda a su pregunta.