¿Cuál es la relación entre el radio de Schwarzschild y la singularidad del agujero negro?

La métrica de Schwarzschild está dada por,

en coordenadas esféricas. Observe que el tensor métrico es singular en el origen,$r=0$, y en el radio de Schwarzschild$r=2GM$. La primera es una verdadera singularidad de curvatura física. Sin embargo, como se puede verificar calculando varios escalares de curvatura, la singularidad$r=2GM$no es físico y puede eliminarse mediante una transformación de coordenadas. En particular, la métrica en coordenadas de Kruskal viene dada por,

El horizonte de eventos$r=2GM$(en unidades naturales) corresponde a$V=\pm U$, y, de hecho, la métrica no es singular en el punto, lo que refleja el hecho de que la singularidad surgió simplemente porque elegimos un sistema de coordenadas inapropiado. Con respecto a$r=0$singularidad, no podemos definir una noción de longitud ni asociar longitud alguna a la singularidad; es un solo punto en la variedad.

En la escala de Planck, no podemos recurrir únicamente a la relatividad general, y los efectos de la gravedad cuántica cobran importancia. Desde la perspectiva de la teoría cuántica de campos, esto es típico. Las distancias cortas corresponden a una escala de alta energía donde nuestra teoría no proporciona una descripción. Como afirma el profesor Tong,

La cuestión de las singularidades del espacio-tiempo es moralmente equivalente a la de la dispersión de alta energía. Ambos sondean la naturaleza ultravioleta de la gravedad. Una geometría del espacio-tiempo está hecha de una colección coherente de gravitones. La estructura de corta distancia del espacio-tiempo está gobernada, después de la transformada de Fourier, por gravitones de alto impulso. Comprender las singularidades del espacio-tiempo y la dispersión de alta energía son caras diferentes de la misma moneda.

Sin embargo, la gravedad es diferente de una simple teoría del campo efectivo, como la teoría de la interacción débil de Fermi. Todavía podemos hacer predicciones sobre la gravedad para altas energías; por ejemplo, si chocamos con energías superiores a la masa de Planck, sabemos que formamos un agujero negro.

Una observación final ya que otras respuestas mencionaron singularidades desnudas. Cuando los efectos de la gravedad cuántica se vuelven importantes, después de pasar el horizonte de eventos, no podemos comunicarlos a otros detrás del horizonte; este es un ejemplo de censura cósmica. Sin embargo, se ha planteado la hipótesis de violaciones, cf. la inestabilidad de Gregory-Laflamme de$p$-branas y cuerdas negras.

1. El radio de Schwarzschild depende del contenido de materia dentro del agujero negro y viene dado por

   $$r=\frac{2GM}{c^2},$$ dónde$G$ is the gravitational constant, $M$ the mass inside the black hole and $c$ the speed of light. The singularity is related to the horizon and the corresponding radius by the statement that there are no "naked singularities". This means that singularities always come with an event horizon, which is given by the Schwarzschild radius.

2. The singularity, at least within general relativity, is point-like. This means that the concept of length does not apply to it. However, quantum gravity might change the nature of the singularity within a black hole and turn it into something extended. But this problem, the solution to which might also concern your first question, is not settled as of today.
3. Con la fórmula anterior, en principio se pueden construir agujeros negros con un radio de Schwarzschild por debajo de la longitud de Planck, pero por razones relacionadas con la gravedad cuántica, no está claro si ese concepto tendría sentido o no. Además, se podría argumentar que un agujero negro lo suficientemente pequeño no puede existir porque se evaporaría instantáneamente debido a la radiación de Hawking.

No sabemos las respuestas a estas preguntas.

La métrica de Schwarzschild que describe un agujero negro estático es una solución obtenida de la relatividad general y esta es una teoría clásica. La singularidad no es un objeto y no tiene tamaño. La singularidad es un lugar donde la curvatura del espacio-tiempo se vuelve infinita y, en consecuencia, no podemos decir qué sucede allí (porque no podemos hacer la aritmética con infinito).

Pocos de nosotros creemos que la curvatura realmente llega al infinito porque esperamos que los efectos cuánticos se vuelvan importantes a medida que nos acercamos a la longitud de Planck. Sin embargo, no tenemos una teoría de la gravedad cuántica que nos diga qué sucede en el centro de los agujeros negros. Hay muchas teorías especulativas, la más extrema de las cuales propone que el espacio-tiempo simplemente termina en el horizonte de sucesos y que los agujeros negros no tienen interior. En términos generales, esperaríamos que las distancias más cortas que la longitud de Planck no se puedan medir, por lo que habrá algo de física en el centro en una escala de longitud alrededor de la longitud de Planck. Pero lo que sucede simplemente no lo sabemos en este momento.