¿Cuál es la razón fundamental de la duplicación del fermión?

La duplicación del fermión se manifiesta a través de la existencia de polos adicionales en el propagador de Dirac en la red. Estos polos no pueden desaparecer en el límite del continuo. (El número de duplicadores puede reducirse mediante diferentes discretizaciones pero no eliminarse en absoluto, esto es esencialmente el teorema de Nielsen-Ninomiya).

La razón de la duplicación del fermión radica en la existencia de una anomalía quiral. Esta anomalía existe en el límite del continuo debido a la no invariancia quiral de la medida integral de trayectoria y no a la no invariancia del Lagrangiano. En la formulación reticular de una teoría quiral basada en una discretización del Lagrangiano, la anomalía está ausente y la formulación reticular genera las especies adicionales solo para cancelar esta anomalía en el límite del continuo. Dado que la anomalía axial existe en la naturaleza$\pi^0 \rightarrow \gamma \gamma$, esta situación es inaceptable.

El problema de la duplicación de fermiones es un artefacto de la realización de la teoría por medio de quarks donde la anomalía axial no está presente en el lagrangiano sino en la medida integral de trayectoria. Hay enfoques de otro tipo de discretizaciones como por medio de espacios borrosos en geometría no conmutativa, donde los quarks no son los campos básicos de la teoría. En estos enfoques, los problemas de duplicación de fermiones no existen.

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Esta es una actualización que se refiere al primer comentario de Marek.

Para los fermiones, la anomalía axial puede recuperarse solo mediante una regularización no trivial de la medida integral de trayectoria de los fermiones. Cualquier aproximación de dimensión finita de esta medida como producto de las integrales de Berezin-Grassmann no produce la anomalía axial. Esta es la razón por la cual la regularización de Lattice no produce la anomalía axial y como consecuencia ocurre el fenómeno de duplicación donde las diferentes especies de duplicadores son de quiralidad opuesta para cancelar la anomalía. Esta es una propiedad de los campos de fermiones representados por variables de Grassmann. En las teorías de campos efectivos (donde los campos básicos son piones) como los modelos sigma, la anomalía axial se manifiesta a través de un término de Wess-Zumino-Witten en el lagrangiano,

Un enfoque que conozco que resuelve el problema de la duplicación de fermiones es la regularización por medio de una aproximación de espacio difuso de la variedad de espacio-tiempo. La filosofía de este enfoque se explica en la introducción del artículo de Mark Rieffel . La resolución de la duplicación de fermiones usando este enfoque se da muy bien en la tesis de Badis Ydri . (También hay trabajos más recientes sobre el tema de A. Balachandran y B. Ydri en el arxiv).

La idea principal es que el álgebra de Poisson de funciones sobre ciertos espacios (como las dos esferas y, más generalmente, las órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos) se puede aproximar mediante matrices de dimensión finita. Estas aproximaciones se denominan espacios borrosos. Los campos de calibre y los fernmiones se pueden construir en estos espacios borrosos, que tienen el límite continuo correcto cuando las dimensiones de la matriz se vuelven infinitas. Esta formulación contiene la anomalía axial inherentemente, por lo que está libre del problema de duplicación. El único inconveniente que puedo ver de este enfoque es que es aplicable solo a algunas variedades especiales de 4 dimensiones como$CP^2$o$S^2 \times S^2$, porque se requiere que la variedad difusa sea cuantificable por Berezin.

¿Cuál es la razón fundamental de la duplicación del fermión?

Respuesta: no hay una razón fundamental para la duplicación del fermión. Agregar la interacción reticular adecuada siempre puede deshacerse de los duplicadores, y funciona tanto para grupos de calibre abelianos como no abelianos, siempre que la teoría quiral resultante esté libre de todas las anomalías. (Ver Xiao-Gang Wen arXiv:1305.1045 y Yi-Zhuang You Cenke Xu arXiv:1412.4784).

Una vista de matriz de densidad del problema:

Cuando$p_\mu$está cerca de cero, uno está considerando un impulso cercano a cero y la red discreta funciona bien. es cuando$p_\mu$está cerca$\pm \pi/a$, o más generalmente, cerca$n\pi/a$por$n\neq 0$un número entero, que uno encuentra problemas. En lugar de tener momentos muy grandes, estos valores de$p_\mu$esencialmente dan momentos tan pequeños como los que están cerca$p_\mu=0$, pero con signos en el$\gamma$matrices negadas.

Este es un tipo de problema de aliasing . Al igual que con el alias habitual, el problema en$\pm \pi/a$desaparece cuando uno hace que la frecuencia de muestreo sea más rápida, es decir, reemplaza$a$con un valor menor. Y al igual que con el aliasing, hacer$a$más pequeño no elimina el alias por completo, sino que lleva el problema a una frecuencia más alta.

Este dibujo muestra el efecto de alias habitual. Tenga en cuenta que la señal negra de alta frecuencia (que corresponde a un impulso alto) aparece como una señal roja de baja frecuencia (con un impulso bajo):

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La diferencia con el alias habitual es lo que sucede cuando$p_\mu = (2n+1)\pi/a$. Estos son los valores que dan una ecuación de Dirac continua con matrices gamma negadas. Para entender mejor lo que está pasando aquí, consideremos la forma de matriz de densidad. Las matrices de densidad evitan fases complejas no físicas. Trabajaré en 3+1 dimensiones.

Se obtiene una matriz de densidad$\rho$multiplicando un ket por un sujetador:

$$\rho = |a\rangle\langle a|.$$ La razón por la que hay cuatro partículas de espín-1/2 en 3+1 dimensiones es que hay cuatro soluciones primitivas (es decir, traza = 1) para la ecuación de idempotencia:
$$\rho^2 = \rho$$
Uno tiene latitud en cómo elige los cuatro estados. En general, uno elige dos elementos del álgebra de Dirac que (a) son cuadrados a la unidad, (b) conmutan y (c) son independientes. Estos se denominan un "conjunto completo de raíces conmutadas de unidad".

Las raíces conmutativas de la unidad son los operadores; uno los elige de acuerdo con los operadores que desea diagonalizar. Siguiendo el artículo de wikipedia sobre la construcción de espinores de Dirac , si elegimos z-spin y charge$Q$, nuestro conjunto completo de raíces conmutadas de la unidad es:

$$\sigma_z = i\gamma^1\gamma^2,\;\;\; Q = -\gamma^0$$
Los cuatro estados independientes son entonces:
$$\rho = (1\pm \sigma_z)(1\pm Q)/4.$$ Para obtener los espinores de una matriz de densidad, se elige una columna distinta de cero y se normaliza. Por tanto, las matrices de espinores y de densidad son representaciones matemáticas alternativas de las funciones de onda; ninguno es más fundamental.

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Si discretizamos la matriz de densidad, terminaremos con el problema habitual de aliasing. Desde el punto de vista de los cálculos del tipo de celosía, esto es aceptable; no habrá partículas duplicadas. Pero los espinores tienen un grado extra de libertad; la fase compleja arbitraria. Esto hace que su comportamiento de alias sea más complicado.

Así que considere lo que sucede para una frecuencia un poco más grande que$\pi/2$. En la siguiente ilustración, coloreamos todas las demás muestras de rojo o azul:

En lo anterior, la matriz de densidad verá esta frecuencia apropiadamente como una frecuencia alta. Pero con un espinor, tenemos libertad de fase compleja arbitraria. Entonces podemos negar los puntos azules; el resultado es una baja frecuencia. Por lo tanto, las fases complejas arbitrarias de los espinores dan naturalmente problemas de aliasing en frecuencias medias.