¿Cuál es la matemática detrás de cómo las llaves/agujeros en los instrumentos de viento de madera afectan el tono?

Cubrir el agujero haría que la nota bajara a Bb 3. Con el agujero cubierto (o sin ningún agujero) obtendrías una onda estacionaria con una longitud de onda del doble de la longitud del instrumento como tono fundamental.

La razón de esto es que el instrumento es un tubo capaz de mantener la presión en el medio, pero no puede mantener la presión en ninguno de los extremos (supongamos una flauta con los extremos abiertos). Cuando visualice una onda, recuerde que la longitud de onda es desde 0, hasta el pico más alto, vuelve a cero, baja hasta el pico más bajo y vuelve a cero nuevamente. Alinee dos de esos ceros en cada extremo del tubo y ahora tiene la mitad de la longitud de onda dentro del instrumento, y esta es la onda más larga que cabe en el instrumento.

Cuando abres el agujero exactamente en el centro, piensa en una onda que tiene 0 en cada extremo y 0 en el agujero. La onda más larga capaz de esto tiene una longitud de onda de 1L, donde L es la longitud del instrumento.

Básicamente, cualquiera que sea la combinación de agujeros que esté abierta, las únicas notas que resonarán son aquellas en las que las longitudes de onda funcionan de modo que los nodos de presión se alineen en los agujeros.

Ahora volvamos a tener todos los agujeros cerrados. No olvides que puedes soplar más fuerte en una flauta (y, lo que es más importante, en instrumentos de metal) para aumentar la frecuencia. Las únicas notas que resonarán son aquellas que tienen nodos (presión 0) en cualquier extremo del instrumento. Como Bb3 es el tono fundamental, podrías jugar Bb4, F5, Bb5, D6, F6, Ab6, etc.

Ahí es donde entramos en ese gráfico en la página de wikipedia. Muestra A2 con una frecuencia de 110 Hz. Para obtener A3, duplicamos eso (220). Para obtener A4, necesitamos duplicar ESO, ¿verdad? entonces 440. Pero, ¿qué pasa con 3x 110 (330)? Ahí es donde obtienes E4.

La "relación dentro de la octava" significa la relación entre la nota dada y la A debajo de ella (ya que ese gráfico se basa en A). Entonces, con respecto a la frecuencia, E4 es 3x A2, pero 1.5x A3. C # 5 es 5x A2 (el fundamental) pero 1.25x el A más cercano, A4. Hay 1200 centavos por octava (100 por nota), por lo que esa columna solo indica cuántos de los 1200 incrementos está por encima del A debajo de ella.

Todo eso es confuso, pero piensa en afinar un piano. Comienzas sintonizando A440. Ahora toca ese A440 con la A debajo. Si está desafinado, la frecuencia no será exactamente el doble. Si lo fuera, las olas se alinearían y sonaría genial. Cuando las ondas no se alinean del todo, obtienes un "golpe" donde las ondas alternan entre sumar su sonido y cancelarse ligeramente entre sí. Ajustas el A3 hasta que los latidos se detienen, lo que significa que está exactamente en 220.

A continuación, puede sintonizar la E a eso. Dado que E4 es 1,5x A3, las ondas también se alinean cuando están afinadas. Cuando están desafinados, escuchas los latidos y puedes ajustarlos hasta que se alineen. Es por eso que 1.5x es importante.

Lo que nos lleva al círculo de 5tas. Una vez que sintonizas E4 a A3, puedes sintonizar todas las Es. Y luego puedes afinar las B porque son 1,5 veces la E más cercana. Luego las F#, y así sucesivamente. 12 notas más tarde y estás de vuelta en A y has afinado el piano. Aunque no voy a entrar en temperamento.

Aquí hay un gran artículo sobre acústica de flauta que tiene imágenes útiles: https://newt.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html

La otra respuesta es bastante engañosa. Los agujeros no solo fuerzan los nodos en las ondas resonantes. Considere que cubre todos los agujeros menos el inferior, escuchará una nota 1 o 2 semitonos más alta que la nota más baja (dependiendo del diseño de la flauta), lo que significa que la longitud de onda es 6-12% más corta. Este definitivamente no es un armónico seleccionado del conjunto original. También tenga en cuenta que al hacer flautas hechas a mano, se afinan perforando pequeños agujeros y ampliándolos gradualmente comenzando desde la parte inferior hasta que cada nota sea correcta. ¡La ubicación de los agujeros es mucho menos importante para la afinación!

En primer lugar, debe considerar cómo se crean las ondas estacionarias: reflejos. Una flauta tiene tres tipos principales de reflejos: límite duro (en el extremo de la boca) que refleja una onda invertida al original, límite suave (el extremo abierto) que refleja una onda que coincide con la fase del borde original y mixto (agujeros abiertos de diferentes tamaños), que reflejan ondas de fase variable con respecto al original, dependiendo de cuánto el tamaño del agujero actúe como un límite abierto.

En el caso más simple con todos los orificios cerrados, solo entran en juego las dos primeras reflexiones, y el resultado es un cuarto de onda estacionario, 4 veces la longitud del tubo.

En el siguiente caso más simple con un agujero abierto, tienes un reflejo adicional. Una propiedad interesante de las ondas sinusoidales es que la suma de dos ondas sinusoidales cualesquiera de la misma frecuencia es una sola onda sinusoidal de esa frecuencia con cierto desfase. Entonces, el reflejo del agujero y el reflejo del extremo abierto del tubo son efectivamente equivalentes a un solo reflejo de algún punto final virtual en el medio. Teniendo en cuenta eso, se aplica el mismo resultado matemático anterior y obtendrá un cuarto de onda estacionario, 4 veces la longitud de onda que ese punto de reflexión virtual. El tamaño del agujero controla la amplitud y la fase del reflejo del agujero, que a su vez controla la ubicación del punto de reflexión virtual (es similar a un promedio ponderado, un agujero más grande acerca el reflejo virtual al agujero,

En el caso de múltiples orificios abiertos, se aplican los mismos principios y aproximadamente un promedio del extremo del tubo y la ubicación de cada orificio abierto ponderada por el tamaño del orificio da el punto final funcional del tubo resonante. (Promedio ponderado aquí, en realidad se refiere a cómo las sumas de vectores en el plano complejo tienen fases resultantes que se asemejan a las fases promedio de las entradas ponderadas por sus amplitudes)

Hay algunas páginas que tratan esto con cierto detalle. Los clarinetes están aquí: https://newt.phys.unsw.edu.au/jw/clarinetacoustics.html Esa página tiene enlaces a otras.

Además de las matemáticas, el tono de una nota en un instrumento práctico se ve afectado por varios factores. La grabadora está cerca de su "instrumento teórico" y es uno con el que estoy muy familiarizado, así que lo usaré como ejemplo.

Las flautas dulces tienen 2 octavas y un rango de tono. La octava inferior son las notas fundamentales y las notas de la octava superior están "exageradas" en la octava. Se utiliza un orificio para el pulgar para introducir una fuga controlable que anima al instrumento a resonar al doble de la frecuencia. La mayoría de las notas tienen la misma digitación en ambas octavas: solo el orificio para el pulgar está parcialmente abierto (pellizcado) para tocar la nota de la octava superior.

Entonces, ¿qué establece el tono de una nota?

1. El tono básico de una nota se establece por el tamaño y la posición del primer orificio abierto debajo de los orificios cerrados (p. ej., en una flauta dulce o tenor, la digitación de G tiene el orificio para el pulgar más los orificios 1, 2 y 3 cubiertos, por lo que el orificio 4 es el orificio de afinación principal para G). Mover un agujero en el tubo o hacerlo más grande agudiza la nota.
2. Las notas de la octava inferior son más sensibles a la distancia por el tubo que al tamaño del agujero.
3. Las notas de la octava superior son más sensibles al tamaño del agujero que a la distancia por el tubo.
4. La forma interna del tubo es importante. Las primeras flautas dulces eran cilíndricas, las barrocas son cónicas, por lo que el espacio entre agujeros es diferente. En instrumentos más grandes, los fabricantes suelen variar la forma del orificio para acercar los orificios y reducir la necesidad de llaves.
5. El perfil interno del agujero tiene un pequeño efecto. Socavar el agujero produce aproximadamente el mismo resultado que agrandarlo.
6. Un instrumento de paredes gruesas bajará ligeramente el tono de cada agujero a medida que la columna de aire se hace un poco más larga.
7. En los instrumentos pequeños, los dos pequeños orificios en la articulación del pie generalmente se perforan en ángulo. Esto los acerca corriente abajo a la posición acústica correcta en la perforación, pero los mantiene a una distancia física cómoda del dedo meñique de su mano derecha.
8. En instrumentos más grandes, los pads de teclas sombrean sus orificios abiertos, aplanando ligeramente la nota.

Entonces, el proceso para sintonizar una grabadora implica:

1. Convertir el exterior del cuerpo en forma de cono y usar un escariador para escariar el cono interno.
2. Ajuste del tamaño del orificio y la posición de cada orificio para afinar ambas octavas. Este paso se repetirá muchas veces.
3. Posiblemente modificando el cono del orificio para solucionar problemas de ajuste.

Para cualquiera que desee profundizar en la acústica de la flauta dulce, este libro es invaluable y tiene un precio razonable.