¿Es matemáticamente posible crear un temperamento igual que coincida solo con las proporciones de intervalo?

He codificado una aplicación de Python que nos permite tener cualquier número de semitonos en una octava para experimentar con música microtonal. Me gustaría preguntar si existe la posibilidad de crear un temperamento tan igualitario que coincida solo con las proporciones de intervalo.

https://en.wikipedia.org/wiki/Equal_Temperament#/media/File:Equal_Temper_w_limits.svg

Como podemos ver en la figura de arriba, hay 9 temperamentos iguales diferentes, y 72-tet está más cerca de coincidir con solo proporciones de intervalo que 12-tet. ¿Es matemáticamente posible dividir una octava de la forma en que coincidirá perfectamente con las proporciones de los intervalos? Por ejemplo, 100 tet, 150 tet, etc.? ¡Muchas gracias de antemano!

Es trivial hacer coincidir mucho más allá del límite del oído humano para distinguir la diferencia. Espero que eso sea suficiente para cumplir con su intención :-)
@CarlWitthoft eso puede ser cierto si ignora la interferencia acústica, pero si no lo ignora, será menos trivial.

Respuestas (6)

Por definición esto no es posible.

Las relaciones de entonación justa son números racionales, N/M donde N, M son números enteros.

El temperamento igual se basa en definir la proporción más pequeña como la raíz n-ésima de 2, 2^(1/n).
Para 12TET n = 12.

Básicamente, lo que está preguntando es si se puede hacer que un número irracional coincida exactamente con una proporción de enteros. Esto nunca será posible.

Dado que está tratando con computadoras y código, probablemente sepa que 2^1/12 no se puede expresar en binario con precisión finita. Esto plantea una pregunta aún más interesante en ese ámbito. La verdadera pregunta es ¿puede generar una afinación temperada igual en s/w que coincida solo con una cierta tolerancia de error? ¡Y a eso la respuesta puede ser sí, pero un purista argumentaría que la aproximación no es realmente igual de temperamento! El pragmático se daría cuenta de que, por mucho que lo intentemos, no podemos garantizar que los instrumentos estén afinados de modo que f(n+1/2)/f(n) = 2^(1/12), por lo que el punto es discutible. Y finalmente, en algún momento el oído humano no puede notar la diferencia ya que existen límites físicos para la resolución de nuestro sistema oído+cerebro.

Si está dispuesto a rastrear los límites de la resolución humana y cuenta con una precisión finita en la aritmética de la computadora, entonces podría generar un algoritmo 'TET' aproximado que le proporcione relaciones de frecuencia justas que estén dentro del límite de discriminación de tono humano. e igual a dentro de cierta tolerancia de error. Eso es lo mejor que puedes esperar.

Sugiero mejorar esta respuesta eliminando la frase "por definición" (esto es imposible, pero no por definición) y explicando explícitamente el hecho de que la raíz n-ésima de 2 es siempre un número irracional. Si alguien lee esta respuesta sin saber que la raíz n-ésima de 2 siempre es irracional, creo que es poco probable que esta respuesta tenga sentido para ellos. (Me disculpo por el tono de mi comentario anterior; estaba siendo innecesariamente duro).
Entendí que la pregunta se refería al temperamento igual 'verdadero', pero con n semitonos por octava en lugar de 12. Para eso, debe mostrar no solo que 2 ^ (1/12) es irracional sino que 2 ^ (m / n) es irracional, para todo n>1 y todo 1 <= m < n. Creo que esto es cierto, pero como dice Tanner Swett, ciertamente no es cierto "por definición": es un resultado no trivial que causó mucha sangre, sudor y lágrimas para los pitagóricos. (Y según la leyenda al menos, ¡realmente había sangre!)
¡¿Qué pasó con todos los otros comentarios?! ¡No hay razón para que hayan sido eliminados! Esta respuesta parece haber atraído a los trolls. La fase "por definición" no se refiere a definiciones en matemáticas sino a las definiciones de los propios sistemas de sintonización. No soy ni nunca he hecho la afirmación de que te estás enfocando con respecto a las matemáticas. Estoy explicando por qué los dos sistemas de afinación no se alinearán y usando hechos conocidos relacionados con las matemáticas en esa explicación.
Cualquiera de nosotros puede hacer referencia a un texto de matemáticas para obtener más detalles, pero inducir una tesis sobre él o la reproducción de la prueba aquí no se suma a la explicación. En cuanto a no saber que la raíz n-ésima de 2 es una lectura irracional, podría ser información nueva para algunos. ¿De verdad crees que si un lector nunca ha oído hablar de un número irracional o del hecho de que la raíz n-ésima de 2 es uno de esos números, entenderías una prueba del mismo? Eso no es probable que sea útil. Creo que ambos están malinterpretando tanto el significado del OP como la respuesta.

Las otras respuestas abordan esto desde dividir la octava y mostrar que las divisiones iguales deben ser irracionales. Otra forma de ver esto es considerar si podemos componer una octava mediante multiplicaciones sucesivas con un número racional. El resultado es, por supuesto, el mismo: no podemos.

Comienza con el Teorema Fundamental de la Aritmética :

todo entero mayor que 1 o es un número primo en sí mismo o puede representarse como el producto de números primos y que, además, esta representación es única, hasta (excepto) el orden de los factores.

Junto con eso, necesitamos la definición de fracción irreducible :

Todo número racional puede expresarse de forma única como una fracción irreducible a/b, donde a y b son números enteros coprimos y b > 0.

Dos números son "coprimos" cuando no tienen ningún factor primo en común. Así, un número racional puede expresarse como el conjunto de factores primos (con exponentes) que define su única expresión irreducible. Por ejemplo, 81:64 puede expresarse como 3 4 * 2 −6 . Cuando multiplicas razones, sumas los exponentes de sus factores primos. Así que el producto de 3:2 y 5:4 ( 2 −1 * 3 1 y 2 −2 * 5 1 ) es 2 −3 * 3 1 * 5 1 , o 15:8 .

Estás buscando una razón R que divida equitativamente una octava en N partes, lo que significa que R N es igual a 2. ¿Podemos identificar tales razones?

El ejemplo clásico es el de la quinta justa, una proporción de 3:2. Se pueden encontrar otros intervalos elevando esa relación a una cierta potencia, ajustando la octava multiplicando o dividiendo por una potencia de 2. Por ejemplo, la segunda mayor puede ser 9:8, que es el cuadrado de (3:2) 2 /2. La tercera mayor puede ser 81:64, que es (3:2) 4/4 . Para generar todos los tonos en el círculo de quintas, siga multiplicando. Cuando vuelves a C (que algunos autores llamarán B♯), terminas con un tono ligeramente más alto que siete octavas por encima del que tenías al principio. La razón de esas dos frecuencias es 3 12 :2 12 . No puedes llegar con precisión a la misma clase de tono porque la factorización prima incluye 3 con un exponente distinto de cero.

Al generalizar, podemos mostrar que lo mismo es cierto para cada razón R que no es en sí misma una potencia de 2. (Si R es una potencia de 2, entonces ha definido el temperamento igual de un tono, un sistema en el que solo hay una clase de tono y en el que el intervalo base es la octava o un múltiplo de la misma, lo cual no es interesante. Esto es lo mismo que dividir la octava usando la primera raíz de 2, que por supuesto es 2.)

Considere la relación R con al menos un factor primo P diferente a 2. Como en el ejemplo del quinto perfecto, cada vez que multiplica una frecuencia por R, la magnitud del exponente de P en la frecuencia resultante es mayor que en la frecuencia original. . El objetivo es lograr un resultado donde el exponente de P sea cero, pero cada multiplicación nos aleja más de ese resultado. Por lo tanto, es imposible.

Por supuesto, una de las cosas sobre el temperamento igual es que 2 7/12 está tan cerca de 1.5 que las quintas perfectas están lo suficientemente cerca de las puras para la mayoría de los propósitos. Desde el punto de vista de las proporciones, esto se debe a que 3^12 (531 441) tiene un valor bastante cercano a 2^19 (524 288). Puede encontrar aproximaciones decentes buscando números que tengan un valor similar a alguna potencia de dos.

Sin embargo, en la práctica, creo que las personas que han explorado el temperamento igual de tono N como una aproximación de la entonación justa han elegido N tal que alguna potencia de la raíz N-ésima de 2 tiene un valor cercano a 1,25 (la proporción de la tercera mayor justa) . Si está interesado en algún otro intervalo, puede experimentar con valores de N para encontrar una aproximación cercana a ese intervalo.

Sin embargo, me siento obligado a cerrar con esta advertencia: si tiene demasiadas divisiones de octava, el sistema no es útil para los músicos humanos. Sólo va a ser útil para una computadora. Si está considerando un sistema de este tipo como una aproximación de entonación justa de tono variable, el programador (o el programa) tendrá que elegir cuál de las varias notas usar. En el temperamento igual de 53 tonos, un paso completo puede tener un tamaño de 8/53 o 9/53 de una octava. En la entonación justa de tono variable, un paso completo puede tener una proporción de 10:9 o una proporción de 9:8. Básicamente es el mismo problema. ¿Por qué no simplemente programar su computadora para usar entonación justa de tono variable?

Si bien esto es interesante, ¿cómo aborda la pregunta? Parece criticar la suposición de que la octava se divide en pasos iguales y luego usa el hecho de que estos son irracionales para ilustrar que la comparación con Just no funcionará. Pero esa es, de hecho, la definición de un sistema de sintonización TET (¿no es así)? ¿Qué más información ganamos al suponer primero que no lo es? ¿O es simplemente otra forma de llegar allí?
@ggcg No estoy criticando la decisión de dividir la octava en pasos iguales. Estoy demostrando que esos pasos no se pueden definir como proporciones. La pregunta es si es posible tener un sistema de sintonización ET donde sean racionales. Otras respuestas abordan esto preguntando si las divisiones iguales pueden ser racionales; esta respuesta pregunta si las proporciones pueden definir las divisiones iguales. "¿Qué... ganamos al suponer primero que no lo es?": Una forma de probar que dos cosas no pueden coexistir es asumir que sí y llegar a una contradicción lógica. "O es solo otra forma de llegar": sí.
@ggcg, por ejemplo, una prueba clásica de que la raíz cuadrada de dos es irracional es asumir que es racional y luego mostrar que su representación de fracción irreducible debe tener números pares como numerador y denominador. Pero eso significa que el numerador y el denominador no son coprimos, lo que significa que la fracción de hecho no es irreducible, lo que es contrario a la suposición, lo que prueba que la suposición es falsa. En este caso, asumimos que existe una división igual racional de una octava y luego demostramos que no puede existir.
Eso es interesante pero no necesario para la discusión. Podemos usar lo que sabemos para discutir la falta de coincidencia entre estos dos sistemas sin probar o refutar los hechos conocidos sobre ellos. El hecho es que la raíz n-ésima de 2 es irracional y que los sistemas tet toman la raíz n-ésima de 2 como la razón de un paso. A partir de ahí sigue el resto.
@ggcg si ya sabe que la raíz enésima de 2 es irracional, sí (donde N es mayor que 1). Pero si supieras eso, probablemente no estarías haciendo esta pregunta.
No estoy seguro de que eso sea cierto. Saber que algo es irracional no significa que conozca todos los demás hechos sobre los racionales, o incluso la definición básica de entonación justa.
en la práctica, utilice 53.
@EricDuminil, la proporción de 12 quintos pitagóricos es 3**12/2**12, que es un poco más grande que siete octavas. La coma pitagórica, 3**12/2**19, es la relación entre el tono que es un poco más de siete octavas más alto y el tono que es exactamente siete octavas más alto. La narrativa en esta respuesta describe la primera.
@Rob Prefiero usar intervalos racionales. ¿Cuál es el punto de dividir la octava en partes iguales cuando no estás usando un teclado? (Y, si tiene 53 divisiones por octava, me atrevo a decir que no está usando un teclado).
@phoog llegué a 53 como una excelente aproximación cuando intenté durante mucho tiempo usar la entonación justa exacta. Es una excelente aproximación a 2^a * 3^b * 5^c. (5-límite). Estaba en un iPad donde logré tener un instrumento completamente sin trastes, donde podía hacer entonaciones dinámicas de cualquier tipo. Está tan cerca que podría dibujar la pantalla con un límite exacto de 5 y dentro del mismo píxel.
@Rob Estoy trabajando en una herramienta para calcular solo las proporciones de entonación. Puedo conectar diferentes temperamentos en él. Cuando le puse 53-TET, de hecho estaba cerca de la entonación, pero pude escuchar la diferencia. Además, la afinación es más fácil de calcular: para elegir los tonos 53-TET correctos para un acorde, tengo que calcular las proporciones justas y luego redondearlas a 53-TET. (Pero estoy hablando de afinar piezas musicales existentes escritas con menos de 12 clases de tono; tal vez estés hablando de componer música nueva).

Según entiendo la pregunta, esto es pura matemática:

No, es imposible. No importa cuántas divisiones tenga, digamos n, el ancho del paso siempre será la raíz enésima de dos y, por lo tanto, un número irracional.

Las relaciones justas son números racionales, por lo que siempre habrá aproximaciones, pero cuantas más elijas, es decir, cuanto mayor sea n, más cerca podrás acercarte.

Pero tenga en cuenta que lo que es imposible con representaciones digitales de precisión limitada (computadora o no) de números es totalmente posible en el mundo físico. Hacemos eso todo el tiempo: dibujamos círculos con un compás y dibujamos y construimos rectángulos. También podemos afinar un piano a cualquier intervalo irracional que deseemos, hasta el límite de la precisión de ejecución y medición (que es, en nuestro mundo analógico, esencialmente infinito para todos los propósitos prácticos).
@Peter-ReinstateMonica de hecho. Eso me recuerda cuando aprendí sobre la imposibilidad de representar 1/3 como un decimal. Pensé "eso significa que es imposible dividir cualquier otra cosa exactamente en tercios". E inmediatamente me di cuenta de que si lo que se divide en tercios es un múltiplo de tres, entonces es posible dividirlo exactamente en tercios. Pero, por supuesto, la precisión de la medición no es infinita, por lo que siempre habrá valores racionales (de hecho, un número infinito de ellos) que están tan cerca del valor irracional teórico que son indistinguibles.
@phoog ¡Pero la precisión esencialmente desconocida es infinitamente más probable que sea un número irracional! Eso es algo que se me ocurrió hace algún tiempo: que, en contra de nuestra intuición, en nuestra realidad física en realidad nunca tenemos verdaderos números racionales. Si intenta dividir una barra de chocolate de manera justa, no puede llegar a la mitad, por mucho que lo intente. En cambio, te equivocas un poco, y eso virtualmente siempre será un número irracional. (Y si empiezas a discutir con átomos, yo respondo con fluctuaciones cuánticas ;-). )
@Peter-ReinstateMonica, seguro. Pero teóricamente sería posible usar una fracción que está tan cerca de la raíz 12 de 2 como para ser prácticamente indistinguible. Me pregunto qué rango de ritmos de latido implica la máxima precisión de la medición del tiempo.
@Peter-ReinstateMonica parece que la precisión de un reloj atómico permite un período de latido de aproximadamente 60 millones de años a 440 Hz.

Ni siquiera puede obtener un sistema de temperamento igual* en el que las quintas y las octavas sean perfectas. Esto se debe simplemente a que si tuviera un sistema de pasos iguales en el que una octava fuera un paso grande y un doceavo fuera un paso grande, sería lógico pensar que las octavas B serían iguales a un doceavo, ya que ambos serían un intervalo de ABpasos. Sin embargo, esto no puede suceder: una doceava parte es la proporción 3:1 y una octava 2:1. Si acumulas múltiplos de un intervalo, elevas su proporción a una potencia, pero ninguna potencia positiva de 3 es igual a una potencia de 2, dado que las potencias de 3 son todas impares y las potencias de 2 son todas pares. Este razonamiento se aplica básicamente a todos los pares de intervalos: dos números racionales que comparten una potencia es una propiedad muy especial.

Dicho de otro modo: un quinto es igual a log(1,5)/log(2) octavas (alrededor de 0,585) y este número no se puede representar como una proporción de números enteros. Sin embargo, puede tratar de aproximarlo mediante números racionales; utilizando, por ejemplo, los convergentes de esa proporción (que son, en cierto sentido, las mejores aproximaciones de hasta un denominador máximo dado), obtendría la siguiente secuencia de aproximaciones a la relación:

0/1, 1/1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53, 179/306, ...

Donde el número 7/12 se interpretaría en el sentido de que un quinto tiene aproximadamente 7 tonos en 12TET, lo cual es, por supuesto, un hecho familiar. Estos denominadores particulares funcionarán mucho mejor que otras fracciones con un denominador similarmente grande para aproximar un quinto; por ejemplo, 7/12 solo tiene una desviación de aproximadamente 3 partes por 2000, que es mucho mejor que la aproximación que log(1.5)/log (2) redondeando a la centésima más cercana: 0,58, a pesar de que esta última aproximación utiliza un denominador de 100 como 58/100. La aproximación 31/53 solo tiene un error de aproximadamente 1 parte por 20000, lo cual es bastante bueno para una aproximación cuyo denominador es solo 53.

Por supuesto, es un poco más difícil decir qué sucede cuando de repente quieres relaciones que no sean quintas y octavas y compuestos de ellas; si solo quisieras octavas, quintas y terceras, buscarías un denominador (número de pasos) tal que tanto log(3)/log(2) (para los doceavos) como log(5)/log(2) (para la tercera mayor + dos octavas) estaban cerca de las fracciones con este denominador, y esto no es tan sencillo matemáticamente como aproximar solo un par de intervalos (pero aún imposible de hacer perfectamente).

(*A pesar de que podría expandirse a múltiples dimensiones con múltiples tipos de pasos iguales, por ejemplo, un Tonnetz o un teclado isomorfo representa exactamente esto donde una dimensión tiene pasos de quintas perfectas y la otra tercera mayor, lo que también conduce a terceras menores a lo largo de otra dirección. Por supuesto, pierde la naturaleza lineal de un teclado de esta manera, ya que ahora está tratando con dos proporciones, y todavía no tiene octavas, ¡aunque podría imaginar agregar un tercer eje!)

Otras respuestas hacen un buen trabajo al demostrar por qué no puede existir una solución exacta no trivial. Para completar, señalaré que hay una solución trivial, aunque no especialmente útil musicalmente: una nota por octava. Todas las proporciones de tonos difieren en alguna potencia de dos, que siempre es un número entero y, por lo tanto, "solo", de manera trivial, ya que solo se permite una clase de tono.

Esto es muy confuso. Parece estar diciendo que esta relación se mantiene independientemente del sistema de afinación. Simplemente no es cierto que "Todas las proporciones de tonos difieren en alguna potencia de dos".
Si tiene una nota por octava (1-TET), como en mi respuesta, esta relación se cumple y mi afirmación es verdadera. Tendría, por ejemplo, A440 seguido inmediatamente por A880, A1760, etc. No se permite ningún intervalo inferior a una octava. Tome cualquier conjunto de tonos y, de hecho, diferirán en un número entero de octavas, por lo tanto, una potencia de dos.
Ahora entiendo cuán trivial es el caso trivial. No estaba diciendo que, por ejemplo, el conjunto {A, G} tenía todas las notas y sus octavas con proporciones enteras, sino que cada conjunto es el singleton {A}, o {G} junto con todas las octavas, en una clase de equivalencia para ejemplo [{A}]. Sí, todo es igual. Monótono.
Mi respuesta menciona el caso trivial.

Esta pregunta tiene 2500 años y la respuesta es no. Vea mi respuesta anterior aquí por qué # y b

¿Es matemáticamente posible crear un temperamento igual que coincida solo con las proporciones de intervalo?
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