¿Cuál es la función de onda del experimento Young Double Slit?

Bueno, hay muchas cosas que podrías hacer. Tú podrías:

1. considere dos haces gaussianos (el artículo vinculado es para electrodinámica)
2. aplique alguna aproximación paraxial (que sería más apropiada para tratar electrones con un gran impulso de avance)
3. haga una aproximación de fuente puntual simétrica barata/cursi usando las funciones de Green.

Puedo hacer el número tres por ti :)

Si lo tomas$\hbar=1$,$m=\frac{1}{2}$, entonces la ecuación en cuestión se convierte en$i \dot{\varphi}+\nabla^2 \varphi=0$, que tiene solución:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2+z^2}{2 a+4 i t}}\right)$$

Luego puede agregar dos de estas fuentes puntuales y traducirlas:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2}{2 a+4 i t}}\right)\left(\exp\left( \frac{(z-h)^2}{2 a+4 i t} \right)+\exp\left( \frac{(z+h)^2}{2 a+4 i t} \right) \right)$$

El hecho de que estos paquetes de ondas no se muevan es un poco engañoso, pero siempre puede "impulsar" a un marco en movimiento usando la respuesta aquí: invariancia galileana de la ecuación de Schrödinger (o si realmente está al tanto de tu juego de mecánica cuántica puedes aplicar el operador de traducción$e^{-i\hat{x}\cdot \hat{p}}$)

Voila, una función de onda apropiada.

Aquí hay una porción XZ de la condición inicial$|\psi|^2$:

Una rebanada XZ de$|\psi|^2$en un momento posterior y compensar Y:

Y una animación de$|\psi|^2$(subido en imgur)

Usé Mathematica para expandir psi al cuadrado de la ecuación anterior. Puede ver exactamente dónde entra la interferencia (el término coseno)

$$|\psi(x,y,z,t)|^2=\frac{\left(a^2\right)^{3/2}}{\left(a^2+4 t^2\right)^{3/2}} \cdot \left(\exp\left(-\frac{a \left(h^2+2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+\exp\left(-\frac{a \left(h^2-2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+2 \cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right) \exp \left(-\frac{a \left(h^2+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)\right)$$

Así que la parte oscilatoria/importante es$\cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right)$. Esto trae a colación el problema obvio con este enfoque: no proporciona directamente el buen resultado que normalmente desea, relacionando el impulso de la partícula con la "longitud de onda" del patrón de interferencia. El patrón de interferencia alcanza su máxima frecuencia en$t=\frac{a}{2}$, así que lo dejaré como ejercicio para que el lector vea si hay una relación entre el impulso ($\hat{p}^2$¿tal vez?), la longitud de onda de De Broglie y las fórmulas habituales de difracción de fórmulas de pico / valle ( este tipo de cosas )