¿Cuál es la forma del patrón del detector en un experimento de Stern-Gerlach con una fuente de haz (en lugar de un ventilador)?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Como usted mismo dice, "la intuición y la QM rara vez se mezclan", y específicamente es la fuente de su concepto erróneo. Si el momento magnético$\vec{μ_S}$de hecho, eran un vector 3D clásico bien definido que interactuaba clásicamente con un gradiente de campo magnético.

Pero el momento magnético de los átomos de plata está cuantificado y es un espín.$½$, y por lo tanto cualquier medida de esta cantidad solo puede tomar dos valores,$±μ_S$. La probabilidad de obtener cada valor dependería del estado original.

Más cuantitativamente, veamos el estado cuántico correspondiente al vector clásico$\vec{μ_S}$orientado a lo largo de la dirección$(θ,φ)$:

$$\begin{align} \vec{μ_S}&=μ_S\begin{bmatrix}\sin θ \cosφ\\\sin θ\sin φ \\\cos θ\end{bmatrix}\\ \ket{\vec{μ_S}}&=\cos\tfrac{θ}{2}\ket{↑}+e^{iφ}\sin\tfrac{θ}{2}\ket{↓} \end{align}$$ dónde $↑$(girar) corresponde a $θ=0$y $↓$(spin-down) a $θ=π$. De hecho, cada dirección en el espacio 3D corresponde a un estado cuántico "diferente", pero dos estados son ortogonales (en el sentido cuántico, es decir, en el espacio de Hilbert) si corresponden a direcciones diametralmente opuestas en el espacio 3D ( $θ' = π-θ$y $φ'=φ ±π$).

Suponga que prepara un haz de lápiz polarizado en una dirección bien definida$(θ,φ)$, y que el gradiente magnético de su aparato Stern-Gerlach está a lo largo de la$z$dirección, el haz se divide a lo largo de la$z$dirección, con una fracción$\left(\cos\tfrac{θ}{2}\right)^2=\tfrac{1+\cosθ}2$de los átomos subiendo y una fracción$\left(\sin\tfrac{θ}{2}\right)^2=\tfrac{1-\cosθ}2$de los átomos que bajan (y$φ$no tiene influencia).

Por lo tanto, si el haz se polariza en una dirección que se desvía de$z$($θ∉\{0,π\}$), los átomos se dividen en dos puntos diferentes. Si el haz no está polarizado en absoluto, se promedia entre todos los ángeles y se encuentra una división de 50:50 entre los dos puntos.

Si el gradiente no es estrictamente a lo largo de una dirección constante, el cálculo se vuelve complicado y podemos tener algunos efectos de interferencia extravagantes.

editar para responder a su pregunta de "edición": como aparato de medición, el aparato de Stern-Gerlach proyecta el giro en el$\ket{↑},\ket{↓}$base, por lo que si el giro no está alineado con el$z$-eje, lo obliga a estar alineado. En realidad lo hace acoplando el giro (a lo largo$z$) a la posición física del átomo, que a su vez se proyecta por interacción con el entorno o, a más tardar, con la placa de medición.

Desde un punto de vista práctico, la razón para usar un haz ancho y plano puede ser tan simple como obtener una alineación fácil y una velocidad decente sin desdibujar la señal con una dispersión significativa en la dirección z.

No hay necesidad de complicar demasiado las cosas.

Pero, ¿qué sucede con las partículas que no tienen giro alineado en z?

La forma no cambia, es la densidad de medidas lo que forma la forma que cambia.

¿El dispositivo SG altera el momento de giro de la partícula?

Alguien puede corregirme si me equivoco, pero no creo que lo haga.

Este es un tema que es objeto de grandes conceptos erróneos, incluso yendo tan lejos como Feynman. No existe una máquina que divida un rayo (un haz en forma de lápiz) de átomos de plata en dos caminos. La razón es obvia. No se puede construir un campo magnético cuya fuerza varíe en la dirección arriba-abajo sin que al mismo tiempo varíe tanto en la dirección xy.

El rayo no polarizado de los átomos de plata en realidad se extiende en un anillo. El rayo polarizado hace algo aún más interesante. Escribí sobre esto en mi blog hace un par de años: The Quantization of Spin Revisited