¿Cuál es la forma de un chorro de agua que sale de una tubería?

Primero examinemos la forma inicial inmediatamente cuando el agua sale de la tubería:

Inicialmente, la corriente posee un radio de curvatura bien definido$R$, que podemos encontrar aplicando la ecuación de Euler normal a una línea de corriente:

$$\frac{V^2}{R} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial n} - g\frac{\partial y}{\partial n}$$

dónde$n$es una coordenada radial normal a una línea de corriente en el chorro, referenciada desde el centro de curvatura.

Digamos el diámetro de la tubería.$D$es pequeño ($R>>D$), entonces$\frac{\partial P}{\partial n} \sim 0$ya que no hay un gradiente de presión apreciable a través del tubo de corriente.

También,$\frac{\partial y}{\partial n} = -1$de inspeccionar el sistema de coordenadas.

Esto demuestra que el radio de curvatura local, justo cuando el chorro sale de la tubería, viene dado por:

$$R = \frac{V^2}{g}$$

Esto define un círculo dado por (mira el sistema de coordenadas):

$$x^2 + (R-y)^2= R^2$$

$$x^2 + y^2 = 2Ry$$

Extremadamente cerca del origen,$x^2>>y^2$, así que ignora$y^2$y resolver para$y$:

$$y = \frac{x^2}{2R} = g\frac{x^2}{2V^2}$$

dónde$V$es la velocidad de salida en el chorro, y sustituí nuestra expresión anterior por$R$.

Este resultado tiene sentido; Considere un chorro con una gran velocidad de salida y observe cómo obtendremos una parábola con una gran distancia focal, como se esperaba.

EDITAR: ¿Cómo depende la forma de la presión P y el diámetro de la tubería D?

¿Cuál es la forma y el tamaño de este arco en función de D, el diámetro interior de la tubería y P, la presión del agua?

Ambos$D$y$P$afectar la velocidad$V$en nuestra ecuación parabólica, pero la ecuación específica$V=V(D,P)$depende de lo que suceda antes de la salida de la tubería.

Para ver el efecto de$D$, podrías usar conservación masiva$A_cV = constant$dentro de la tubería donde$A_c$es el área de la sección transversal de la tubería. más grande$D$por lo tanto producirá menor$V$y viceversa.

Para ver el efecto de$P$, debe aclarar qué incluye su sistema antes de la salida de la tubería. Por ejemplo, si nuestra tubería es un pequeño agujero en un tanque,$V=\sqrt{2 g h}$a través de la ecuación de Bernoulli, donde$h$es la distancia del agujero desde el fondo. Se puede ver que a mayor presión hidrostática aumenta$V$. Si nuestra tubería está conectada a una bomba de eficiencia$\eta$, con poder$\dot{W} = \eta Q \Delta P=\eta A_c V \Delta P$, se puede ver cómo influye la presión$V$de nuevo. En general, puede ver que una mayor presión en la salida de la tubería dará como resultado una mayor$V$, dando así a nuestra parábola una distancia focal mayor. Viceversa para menor presión.

La respuesta específica a cómo$V$depende de$D$y$P$depende de lo que incluya su sistema antes de la salida de la tubería.

Tu último comentario "aceptado" es importante. Intentaré responder a esta pregunta cualitativamente.

Supongamos que el agua consiste en partículas microscópicas que no interactúan (aparte de las colisiones elásticas), por ejemplo, partículas microscópicas de arena. Todas estas partículas que salen de la tubería con una velocidad horizontal media seguirán (en el medio) una trayectoria parabólica hacia abajo. Cuanto mayor sea el diámetro de la tubería, más tardará la parte del agua (modelada por las partículas) más cercana a la parte superior de la tubería en llegar al suelo que la parte del agua más cercana a la parte inferior. Sin embargo, esta es una constante y no tiene influencia en la forma de la masa de agua que cae. Las partículas en el lado superior del tubo siguen la misma parábola que las partículas en el lado inferior del tubo. Es fácil ver que esto da como resultado la deformación de la sección transversal circular inicial del agua al salir de la tubería, en forma de elipse para la sección transversal al tocar el suelo. Y debido a que las partículas no interactúan, no hay fuerzas de marea, por lo que el diámetro (eje largo) de la elipse en el suelo tiene el mismo valor que el diámetro del círculo inicial. Entonces, la sección transversal del haz no disminuye, sino que permanece igual porque la densidad de partículas disminuye (en contraste con el agua real). Las partículas en el lado exterior de la masa de agua lograrán escapar, pero esto tiene un efecto insignificante. Entonces, en este caso, la forma del haz de agua que cae (modelado por partículas) es parabólica y la forma que tiene el haz cuando llega al suelo es una elipse. no hay fuerzas de marea por lo que el diámetro (eje largo) de la elipse en el suelo tiene el mismo valor que el diámetro del círculo inicial. Entonces, la sección transversal del haz no disminuye, sino que permanece igual porque la densidad de partículas disminuye (en contraste con el agua real). Las partículas en el lado exterior de la masa de agua lograrán escapar, pero esto tiene un efecto insignificante. Entonces, en este caso, la forma del haz de agua que cae (modelado por partículas) es parabólica y la forma que tiene el haz cuando llega al suelo es una elipse. no hay fuerzas de marea por lo que el diámetro (eje largo) de la elipse en el suelo tiene el mismo valor que el diámetro del círculo inicial. Entonces, la sección transversal del haz no disminuye, sino que permanece igual porque la densidad de partículas disminuye (en contraste con el agua real). Las partículas en el lado exterior de la masa de agua lograrán escapar, pero esto tiene un efecto insignificante. Entonces, en este caso, la forma del haz de agua que cae (modelado por partículas) es parabólica y la forma que tiene el haz cuando llega al suelo es una elipse.

Ahora supongamos lo contrario: supongamos que el agua se compone de partículas microscópicas que están unidas entre sí por pequeñas cuerdas. En este caso, también hay una horizontal media para la partícula, pero aparte de las colisiones (que no afectan la forma parabólica media de la masa de agua que cae), las partículas microscópicas se atraen entre sí por medio de pequeños resortes. , lo que significa que aparecen fuerzas de marea que actúan sobre la masa de agua. Las partículas no se alejan más unas de otras cuanto más tiempo caen, por lo que no se formarán gotas. Debido a las fuerzas de marea, las partes inferiores de la masa de agua experimentan una fuerza ascendente y, en consecuencia, llegan al suelo más tarde que en el caso anterior y con la misma sección transversal y velocidad que la sección transversal y velocidad inicial. Él' Es como disparar una larga cadena de bicicleta en dirección horizontal dejándola salir de una gran hoja de engranaje que gira constantemente en dirección horizontal desde un edificio alto. Es obvio que la forma del segundo tipo de agua que sale horizontalmente de una tubería no tiene la forma de una parábola (al igual que la forma de la cadena que sale horizontalmente y luego cae al suelo).

Entonces, las fuerzas de marea, que en su caso de una masa real de agua que cae, están presentes, debido a la viscosidad del agua. Aunque el número de Reynolds del agua es muy alto, la forma es casi parabólica, es decir, no parabólica. La sección transversal se vuelve más pequeña cuando la viga está más cerca del piso (la densidad del agua no cambia), pero tiene una forma de elipse mínima. Además, debido a las fuerzas de marea, la velocidad en el suelo es un poco menor de lo que sería si no hubiera fuerzas de marea (o, en otras palabras, viscosidad).

Y entra en juego un segundo efecto. A cierta velocidad, el flujo laminar del agua se vuelve turbulento debido a su viscosidad lo que dejará la forma del agua que cae de la tubería, lo que hará que la forma del agua que cae se desvíe (debido a fricciones internas en el agua) un poco más de una parábola.

Entonces el desde es casi una parábola, lo que quiere decir que la forma no esuna parábola, aunque no puedo decirte la forma exacta. En el caso de la cadena, podría ser una catenaria. Un experimento simple para ver que un fluido con un número de Reynolds bajo no crea una forma parabólica cuando lanzas un rayo verticalmente es hacer un rayo de miel (número de Reynolds bajo) y un rayo de agua (número de Reynolds alto). ) salen en el mismo tipo de tubería horizontal con la misma velocidad y comparan los dos puntos en el piso (antes de que se rompa el fluido con el número de Reynolds alto) donde llegan. Cuanto más parabólico (número de Reynolds alto), más lejos llegará el haz al suelo (medido como la distancia horizontal entre la salida de la tubería y el punto de impacto en el suelo). Será más difícil comparar las secciones transversales finales de la viga.

Aún más simple. Usaré el sistema de coordenadas y los símbolos de @Drew.

Un elemento de masa sale de la boquilla en$t=0$, velocidad$V$.

Inmediatamente tiene dos componentes de velocidad,$V_x$y$V_y$, a partir de la cual se pueden calcular las coordenadas en el tiempo:

$$V_x=V \Rightarrow x=Vt$$ Y debido a la gravedad: $$V_y=gt \Rightarrow y=\frac12 gt^2$$ Extracto$t$:

$$\Rightarrow t=\frac{x}{V}$$

Sustituto:

$$\Rightarrow y=g\frac{x^2}{2V^2}$$

Tenemos una parábola, como la de una bala disparada horizontalmente (p. ej.)

Ahora, ¿qué sucede si, como en el caso de OP, la boquilla no es horizontal sino que forma un ángulo con la horizontal de$\theta$?

En ese caso descomponemos$V$en sus componentes horizontal y vertical$V_x$y$V_y$:

$$V_x=V\cos\theta$$ $$V_y=V\sin\theta +gt$$

Luego proceda como se indicó anteriormente.