¿Cómo disminuye la sección transversal de una corriente de agua que cae?

Considere una corriente continua de agua que baja de un grifo. Dado que el flujo de agua es continuo, por ecuación de continuidad, el área de la sección transversal de la corriente disminuye. Pero, ¿qué hace que el agua fluya hacia los lados, es decir, qué fuerza es responsable de disminuir el área de la sección transversal?

Por el principio de continuidad, ¿no debería permanecer constante la cantidad de movimiento inicial del líquido? Pero cuando el agua cae debido a la gravedad, hay una fuerza que actúa sobre ella.
¿Tiene algo que ver con la resistencia del aire? Esto es lo que pienso: - Los bordes exteriores del agua que fluye experimentan el arrastre del aire y, por lo tanto, se mueven más lentamente en comparación con el que está en el medio del flujo y, por lo tanto, (el agua a lo largo de los bordes) cae una distancia menor en comparación con el en el medio y, por lo tanto, crea la forma estrecha que vemos y, si se permite que caiga más y más, se vuelve más estrecha y, en última instancia, inestable...

Respuestas (4)

Para un fluido viscoso incompresible, la ecuación de continuidad (conservación de masa) para una deformación axisimétrica viene dada por

1 r ∂ ( tu r ) ∂ r + ∂ w ∂ z = 0
donde u es la velocidad radial, w es la velocidad axial, r es la coordenada radial y z es la coordenada axial. Los componentes clave del tensor de tensión para el estiramiento axisimétrico de un cilindro de fluido viscoso están dados por:
σ r = − pag + 2 η ∂ tu ∂ r
σ z = − pag + 2 η ∂ w ∂ z
donde p es un parámetro con unidades de presión que debe determinarse a partir de las condiciones de contorno, η es la viscosidad del fluido, y las sigmas son las tensiones en las direcciones radial y axial, respectivamente.

De la ecuación de continuidad, se deduce que si dw/dz es la tasa de deformación axial (constante) del cilindro, la velocidad radial puede integrarse para dar:

tu = − r 2 d w d z
Esta ecuación indica que, a medida que el fluido se estira axialmente, se contrae radialmente. La tensión en la dirección radial es igual a cero, por lo que el parámetro p viene dado por:
pag = 2 η d tu d r = − η d w d z
Si sustituimos esto en la ecuación de tensión axial, obtenemos:
σ z = 3 η d w d z
Esta es una ecuación bien conocida que indica que la llamada viscosidad de elongación de un fluido es 3 veces su viscosidad de corte.

En resumen, de acuerdo con este desarrollo, incluso aunque la tensión total en la dirección radial sea cero, el cilindro de fluido viscoso todavía se contrae radialmente cuando se estira axialmente para satisfacer la ecuación de continuidad (siempre que el fluido no se rompa). La contribución de compresión viscosa a la tensión radial mantiene el cilindro unido. Todo esto es totalmente análogo al efecto Poisson al estirar un sólido (como resultado de fuerzas elásticas).

Por supuesto, en el caso de los polímeros fundidos, la contribución de la tensión superficial suele ser insignificante, a menos que el cilindro tenga un diámetro pequeño.

¿Puede escribir una respuesta que no utilice tensores (si es posible)? Muchos otros estudiantes de secundaria y yo aún no hemos estudiado tensores, pero este ejemplo a menudo se muestra en los libros como una aplicación de la ecuación de continuidad.
@Chet Miller hola Miller... ¿crees que la resistencia del aire también importa aquí? Revisa el comentario que escribí debajo de la pregunta...
La resistencia del aire puede tener un efecto en la forma, aunque normalmente es secundario.

Por el bien del argumento, suponga que la corriente de agua tiene 10 cm de altura. Las gotas de agua en el fondo del arroyo han estado cayendo durante un período de tiempo más largo que las gotas de agua 1 cm por encima de ellas, y esto es cierto para todas las gotas de agua en el arroyo que cae. Debido a esto, las gotas de agua en el fondo del arroyo se mueven a mayor velocidad que las gotas de agua 1 cm por encima de ellas, porque las gotas de agua que están más abajo en el arroyo han estado acelerando durante más tiempo. Dado que la tasa de flujo es constante, la corriente debe volverse más delgada en el área de la sección transversal a medida que cae, para satisfacer la ecuación de continuidad.

Su respuesta no aborda qué fuerza es responsable de la contracción. Solo prueba que se satisface la continuidad, pero eso no es realmente lo que se pregunta aquí.
La aceleración de la gravedad provoca el adelgazamiento. Cuando la corriente se adelgaza lo suficiente, la tensión superficial la rompe en gotas.

De hecho, se debe a que la misma masa y, por lo tanto, el mismo volumen de agua tiene que fluir a través de una sección transversal dada. Esto se denomina ley de continuidad en la mecánica de fluidos. Es un hecho conocido que la velocidad de un objeto que cae aumenta con la altura y, por lo tanto, para satisfacer la ley de continuidad, la sección transversal debe disminuir (para mantener el volumen constante). Y así, cuanto mayor sea la velocidad del flujo de fluido, menor será la sección transversal. se convierte en

Su respuesta no aborda qué fuerza es responsable de la contracción.

Si desea ver esto en términos de fuerza, puede verlo a continuación.

Considere el punto en el que el agua acaba de comenzar a caer (tómelo como una sección transversal de referencia), obviamente en este punto la presión atmosférica y la presión desde el interior de la sección transversal en dirección hacia afuera estarán en equilibrio. También en este momento el agua aún no ha alcanzado su máxima compresibilidad.

Como supongo que ya sabes que a medida que aumenta la velocidad, la presión disminuye (este mismo fenómeno se usa para que las partículas de aire vuelen, sabes qué (de acuerdo con el teorum de Bernoulli)). Debido a este hecho, a medida que aumenta la velocidad del agua que cae, la presión ejercida por ella disminuye y, por lo tanto, debido a la presión atmosférica, la sección transversal disminuye hasta que alcanza su máxima compresibilidad.

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