¿Cuál es la energía cinética de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje que acelera NO a través de su centro de masa?

Question

¿Cuál es la energía cinética de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje que acelera NO a través de su centro de masa?

Wormaldson

He estado trabajando un poco en un proyecto personal mío últimamente y me encontré bastante atascado en lo que al principio parecía ser un problema mecánico bastante sencillo. El sistema en cuestión es una varilla a la que se le permite pivotar libremente sobre el extremo de un actuador y se ve desde un marco de inercia en reposo con respecto a cualquier hardware que esté impulsando el actuador (el "marco de laboratorio", por así decirlo). ). El accionador no tiene un movimiento prescrito y, por lo tanto, el eje de rotación tendrá, en general, una aceleración distinta de cero. Entiendo que la energía cinética de un objeto que se traslada y gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa se puede descomponer en la suma de la energía cinética de traslación de su centro de masa y su energía cinética de rotación sobre su centro de masa:

T = \frac{1}{2} metro v_{C METRO}^{2} + \frac{1}{2} I_{C METRO} ω_{C METRO}^{2} .

$T=\frac{1}{2}mv_{CM}^2+\frac{1}{2}I_{CM}\omega_{CM}^2.$ También entiendo que si el eje de rotación está en reposo con respecto a un marco de referencia inercial, entonces la energía cinética es simplemente

T = \frac{1}{2} I_{a X i s} ω_{a X i s}^{2} .

$T=\frac{1}{2}I_{axis}\omega_{axis}^2.$ Eso está muy bien y es una mecánica clásica bastante básica. Sin embargo, no tengo idea de cómo tratar este caso mucho más general en el que el eje de rotación está acelerando y no a través del centro de masa de la varilla rígida. Si el sistema tuviera una masa puntual en lugar de la barra extendida, simplemente podría escribir las coordenadas de dicha masa puntual y determinar su energía cinética directamente, pero eso tampoco funcionará aquí. La persona que responde a esta pregunta ofrece la siguiente expresión para la energía cinética de un objeto que se traslada y gira alrededor de un punto fijo:

T = \frac{1}{2} metro V^{2} + \frac{1}{2} ω^{2} I_{norte} + metro {\vec{R}}_{C metro}^{'} \cdot (\vec{V} \times \vec{ω})

$T=\frac 12mV^2+\frac 12\omega^2I_n+m\vec R_{cm}'\cdot(\vec V\times\vec\omega)$ Sin embargo, como presentan esta ecuación sin ningún tipo de prueba o derivación o referencia de algún tipo, es difícil para mí estar seguro de que se aplicará al sistema específico bajo investigación.

¡Cualquier ayuda para aclarar mi confusión sería muy apreciada!

Respuestas (2)

¿Cuál es la energía cinética de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje que acelera NO a través de su centro de masa?

Juan Alexiou · Answer 1

La ecuación correcta para la energía cinética con movimiento 3D general es

\begin{matrix} (1) & T = \frac{1}{2} v_{C METRO} \cdot metro v_{C METRO} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{C METRO} ω \end{matrix}

$T = \tfrac{1}{2} \boldsymbol{v}_{\rm CM} \cdot m\, \boldsymbol{v}_{\rm CM} + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{I}_{\rm CM} \boldsymbol{\omega} \tag{1}$

dónde $m$ es la masa, $\boldsymbol{v}_{\rm CM}$ es el vector de velocidad de traslación del centro de masa, $\boldsymbol{\omega}$ es el vector de velocidad de rotación del cuerpo y $\mathbf{I}_{\rm CM}$ es el momento de masa de la matriz de inercia en el centro de masa.

Pero dada la definición de impulso traslacional $\boldsymbol{p} = m\, \boldsymbol{v}_{\rm CM}$ así como el momento de rotación $\boldsymbol{L}_{\rm CM} = \mathbf{I}_{\rm CM} \boldsymbol{\omega}$ , puedes ver que la energía cinética también se define como

\begin{matrix} (2) & T = \frac{1}{2} v_{C METRO} \cdot pag + \frac{1}{2} ω \cdot L_{C METRO} \end{matrix}

$T = \tfrac{1}{2} \boldsymbol{v}_{\rm CM} \cdot \boldsymbol{p} + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{L}_{\rm CM} \tag{2}$

Lema : el cálculo anterior produce exactamente el mismo resultado si se considera el movimiento del cuerpo en un punto diferente, y tanto la velocidad de traslación como el momento angular se transforman en consecuencia.

Prueba - Considere un punto de referencia A lejos del centro de masa. Lo siguiente es cierto de la mecánica estándar si el centro de masa está en $\boldsymbol{r}_{\rm CM}$ con respecto al punto A.

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} v_{A} & = v_{C METRO} - ω \times r_{C METRO} \\ L_{A} & = L_{C METRO} + r_{C METRO} \times pag \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{v}_{\rm CM} - \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{\rm CM} \\ \boldsymbol{L}_{A} & = \boldsymbol{L}_{\rm CM} + \boldsymbol{r}_{\rm CM} \times \boldsymbol{p} \end{aligned} \tag{3}$

Ahora para mostrar que $T$ calculado en A es lo mismo que calculado en CM

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} T & = \frac{1}{2} v_{A} \cdot pag + \frac{1}{2} ω \cdot L_{A} \\ = \frac{1}{2} (v_{C METRO} - ω \times r_{C METRO}) \cdot pag + \frac{1}{2} ω \cdot (L_{C METRO} + r_{C METRO} \times pag) \\ = \frac{1}{2} v_{C METRO} \cdot pag - \frac{1}{2} (ω \times r_{C METRO}) \cdot pag + \frac{1}{2} ω \cdot L_{C METRO} + \frac{1}{2} ω \cdot (r_{C METRO} \times pag) \\ = \frac{1}{2} v_{C METRO} \cdot pag + \frac{1}{2} ω \cdot L_{C METRO} + \frac{1}{2} ω \cdot (r_{C METRO} \times pag) - \frac{1}{2} pag \cdot (ω \times r_{C METRO}) \\ = \frac{1}{2} v_{C METRO} \cdot pag + \frac{1}{2} ω \cdot L_{C METRO} ✓ \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{aligned} T & = \tfrac{1}{2} \boldsymbol{v}_A \cdot \boldsymbol{p} + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{L}_A \\ & = \tfrac{1}{2}\left(\boldsymbol{v}_{{\rm CM}}-\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\right)\cdot\boldsymbol{p}+\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot\left(\boldsymbol{L}_{{\rm CM}}+\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\times\boldsymbol{p}\right) \\ &=\tfrac{1}{2}\boldsymbol{v}_{{\rm CM}}\cdot\boldsymbol{p}-\tfrac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\right)\cdot\boldsymbol{p}+\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{L}_{{\rm CM}}+\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\times\boldsymbol{p}\right)\\&=\tfrac{1}{2}\boldsymbol{v}_{{\rm CM}}\cdot\boldsymbol{p}+\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{L}_{{\rm CM}}+\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\times\boldsymbol{p}\right)-\tfrac{1}{2}\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\right)\\&=\tfrac{1}{2}\boldsymbol{v}_{{\rm CM}}\cdot\boldsymbol{p}+\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{L}_{{\rm CM}}\;\;\checkmark \end{aligned} \tag{4}$

_{Tenga en cuenta que $\boldsymbol{\omega}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\times\boldsymbol{p}\right)=\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_{{\rm CM}}\right)$ de las identidades del triple producto vectorial.}

Entonces, ¿el hecho de que el objeto esté obligado a girar alrededor del punto de referencia A que, en general, puede coincidir o no con el centro de masa no tiene ninguna consecuencia, entonces?
Pues es porque facilita el cálculo ya que $\boldsymbol{v}_A = 0$

eli · Answer 2

cuerpo rígido gira sobre un eje arbitrario $\vec{n}$ y traduciendo en espacio 3D, ¿cuál es la energía cinética?

Energía cinética

T_{A} = \frac{1}{2} metro {\vec{v}}_{A}^{T} {\vec{v}}_{A} + \frac{1}{2} {\vec{ω}}_{A}^{T} Θ_{A} {\vec{ω}}_{A}

$T_A=\frac{1}{2}\,m\,\vec{v}^T_A\,\vec{v}_A+\frac{1}{2}\vec{\omega}^T_A\,\Theta_A\,\vec{\omega}_A$

con :

{\vec{v}}_{A} = [\begin{matrix} \dot{X} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{matrix}]

$\vec{v}_A=\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \\ \end{bmatrix}$

Θ_{A} = Θ_{C} - metro \tilde{\vec{tu}} \tilde{\vec{tu}}

$\Theta_A=\Theta_C-m\,\widetilde{\vec{u}}\,\widetilde{\vec{u}}$

\vec{tu} = {\vec{r}}_{A} - {\vec{r}}_{C}

$\vec{u}=\vec{r}_A-\vec{r}_C$

{\vec{ω}}_{A} = \dot{φ} {\vec{norte}}_{norte}

$\vec{\omega}_A=\dot{\varphi}\,\vec{n}_N$

dónde :

$\vec{n}_N=\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}$

y

$\widetilde{\vec{u}}=\left[ \begin {array}{ccc} 0&-u_z&u_y\\ u_z&0&-u_x \\ -u_y&x&0\end {array} \right]$

tienes 4 coordenadas generalizadas $x\,,y\,,z\,,\varphi$

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