¿Cuál es la dilatación del tiempo entre Marte y la Tierra resultante de la diferencia de masa?

De mi respuesta a Parker Solar Probe pasando extremadamente cerca del Sol; ¿Qué efectos relativistas experimentará y qué tan grandes serán? :

Desde aquí (o aquí si eres ambicioso), los términos de orden más bajo para el cambio de frecuencia relativista de un reloj en órbita alrededor de un cuerpo gravitacional son:

$$\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{\Phi}{c^2} - \frac{v^2}{2c^2} = -\frac{GM}{r c^2} - \frac{v^2}{2c^2},$$

donde el primer término es el desplazamiento gravitacional y el segundo es la dilatación del tiempo.

Conectando el parámetro gravitacional estándar $GM$y radio$r$de Marte en el término$-\frac{GM}{r c^2}$Obtengo 1.4E-10.

Eso significa que el cambio en la velocidad de un reloj debido a la gravedad de la superficie de Marte es de -0,14 partes por billón. Para la Tierra es -0,69 ppb.

Pero el problema es más complicado. Así que vamos a incluir algunos términos de corrección más.

Marte y la Tierra se mueven rápidamente en órbita alrededor del Sol y se asientan en el potencial gravitacional del Sol. Veamos los tamaños relativos de estos términos:

                              All values x1E-09
        local gravity  local rotation     Sun's gravity      orbital velocity 
Mars       -0.140          -0.0003            -6.478                -3.239
Earth      -0.695          -0.001             -9.870                -4.935

Para responder a la pregunta: -0,140 menos -0,695 es igual a +0,555 partes por mil millones , debido únicamente a las gravedades planetarias locales; las cosas son más rápidas en Marte que en la Tierra por 555 partes por billón.

Pero los grandes efectos tienen que ver con las órbitas heliocéntricas.

-0,140 + -0,0003 + -6,478 + -3,239 menos -0,695 + -0,001 + -9,870 + -4,935 da +5,644.

En general: el tiempo es más rápido en aproximadamente 5,6 partes por mil millones en Marte en relación con la Tierra, pero eso se debe principalmente a que la órbita de la Tierra está más cerca del Sol .

¡Compare eso con aproximadamente ~ 430 pares por mil millones (la mitad de un ppm) para la Sonda Solar Parker cuando se acerca al Sol!

Esos son valores típicos y no pretenden ser exactos en el número de lugares decimales que se muestran porque tanto la Tierra como Marte se mueven en órbitas elípticas, por lo que cada uno varía de manera diferente con el tiempo. Reescribí las ecuaciones en esa respuesta incorporando la ecuación vis-viva para una forma más conveniente que se muestra a continuación, pero sería mejor usar vectores de estado adecuados.

editar: ¿Cómo se mediría esta diferencia de frecuencia?

Una forma sería poner un reloj ultraestable en cada planeta que emitiera un pulso cada segundo (hora local) que disparara un láser al espacio. Una nave podría cronometrar la diferencia entre los dos, corregir el tiempo de luz que le tomó al láser. Como calcula el OP al cabo de un año la diferencia sería de unos 0,17 segundos.

Sin embargo, si comenzó a volar para verificar cada reloj usted mismo y compararlo con su reloj ultraestable portátil, el problema se vuelve mucho más complicado de resolver, y más allá de lo que puedo explicar con confianza ... está bien, absolutamente incapaz de explicar ni siquiera un poco. ;-)