¿Cuál es la diferencia entre un vector de estado y un vector base en la mecánica cuántica?

Busqué la diferencia entre el vector de estado y el vector base en la mecánica cuántica, pero no pude encontrar ninguna explicación clara. ¿Puede alguien dar una explicación simple y clara de esto?

¿Sabes cuál es la base de un espacio vectorial?
@Javier, Sí, no es grosero, en serio, necesitamos saber si está familiarizado con la noción de "base", porque la respuesta puede ser muy larga si necesitamos explicar la base, pero de lo contrario es lo suficientemente breve.
Según tengo entendido, las bases son como nuestra coordenada x, yz. Y un vector de estado es un vector que se expresa en estas coordenadas

Respuestas (1)

Los vectores base son un conjunto especial de vectores que tienen dos propiedades:

  1. Los vectores en el conjunto son linealmente independientes (lo que significa que no puede escribir un vector como la combinación lineal de otros vectores en el conjunto)
  2. Cada vector en el espacio vectorial se puede escribir como una combinación lineal de estos vectores base

Los vectores base se utilizan ampliamente en álgebra lineal y no son exclusivos de la mecánica cuántica.

Cuando empezamos a hablar de vectores de estado en QM, como | ψ ⟩ , podemos optar por expresar este vector de estado en términos de cualquier base que queramos. En otras palabras, para una base discreta:

| ψ ⟩ = ∑ i C i | a i ⟩

dónde | a i ⟩ representa vector base i , y C i es un coeficiente que dice "cuánto de | a i ⟩ es en | ψ ⟩

Ahora podría ser eso | ψ ⟩ es igual a uno de nuestros vectores base, digamos | a j ⟩ , de modo que C i = d i , j y

| ψ ⟩ = ∑ i d i , j | a i ⟩ = | a j ⟩

Incluso podríamos optar por expresar este ejemplo en alguna otra base:

| ψ ⟩ = | a j ⟩ = ∑ i d i | b i ⟩

Entonces, para responder a la pregunta: los vectores base son solo un conjunto especial de vectores con las dos propiedades enumeradas anteriormente. Cada vector base podría ser un vector de estado, si el sistema está puramente en ese estado, pero no tiene por qué ser así. Puede obtener la imagen completa siendo más general: los vectores de estado se pueden expresar como combinaciones lineales de vectores base de cualquier base en la que elijamos trabajar . Esto entonces cubre el caso de cuando nuestro vector de estado es uno de nuestros vectores base, ya que este sigue siendo el caso de una combinación lineal. Sin embargo, la elección de la base es completamente subjetiva (aunque algunas bases son mejores para trabajar que otras para ciertos problemas).

Estaba tratando de entender este concepto en términos de la imagen de Heisenberg. De acuerdo con mi entendimiento en esta imagen, los operadores (posición x (t) y momento p (t)) cambian con el tiempo, pero la base (coordenadas x, y, z) permanece fija. pero en el libro de Shankar, el autor ha mencionado que en la base de la imagen de Heisenberg puede rotar como vectores de estado. Entonces, en tal base, los vectores parecen estar congelados.
¿No deberían los vectores base permanecer fijos en la imagen de Heisenberg? Por qué el autor dice que los vectores permanecen congelados. Según tengo entendido, debería mencionar que la base debe permanecer fija pero los vectores pueden rotar. Entonces, teniendo esto en mente, publiqué la pregunta anterior.
@herry En la imagen de Heisenberg, los operadores evolucionan con el tiempo, pero los estados no; para que sea consistente con la imagen de Schrödinger, es una consecuencia natural que los vectores base también necesiten evolucionar en el tiempo. Cuando afirma que los vectores pueden rotar pero la base se muestra fija, implícitamente está volviendo a la imagen de Schrödinger.
@herry Lo que dice Bruno es correcto. Si tiene más preguntas sobre esto, le recomendaría hacer una nueva pregunta. Su pregunta actual no menciona nada al respecto.
@BrunoDeSouzaLeão, ¿cómo la rotación del vector base indica que estamos cambiando de operador? Si (x, y, z) son los vectores base y R es un vector de estado, ¿significa que R es fijo y giro x, y y z por un ángulo igual suponga 90 grados o 30 grados. Su declaración me ha ayudado a aclarar este concepto.
¿El vector de estado representa el estado del sistema? ¿Significa la posición y el momento del sistema?
@herry El vector de estado te dice todo sobre el sistema. A partir de él se pueden, en principio, conocer las probabilidades de medir cualquier observable del sistema.
Entonces, si representa la posición y el impulso de un sistema, ¿no debería girar en la imagen de Heiseberg?
@herry No si sus vectores de base y operadores están cambiando. Honestamente, parece que tienes una pregunta completamente nueva. Los comentarios sobre la respuesta de una pregunta diferente no son el lugar para hacer y responder nuevas preguntas. Simplemente publique una nueva pregunta para que otros puedan dar respuestas más detalladas que no caben en los comentarios.
@herry Está definiendo implícitamente los vectores base como los estados propios de un operador en particular, por lo que para que cambien y sigan siendo estados propios de un determinado operador, este operador en general también cambiará. Pero eso debería suceder sin importar la base propia que elija, por eso debe esperar que todos los operadores cambien con el tiempo (el razonamiento generalmente es al revés, pero creo que eso podría ser un poco más esclarecedor para usted)
@herry Y solo un pequeño punto conceptual: un estado cuántico no puede representar tanto la posición como el momento de una partícula, debido al principio de incertidumbre: puede expandirlo en estados propios de posición o en estados propios de momento, pero no ambos. Lo más cerca que puede estar, como señaló Aaron, es de las probabilidades de ciertas medidas de observables (en particular, la posición y el momento).
Pero también estoy de acuerdo con Aaron en que es más apropiado que publiques otra pregunta si todavía tienes dudas conceptuales sobre este tema, la sesión de comentarios realmente no es el mejor lugar para tener esta conversación.
ok muchas gracias por tu ayuda. Este es realmente un buen foro.
@herry Si esta respuesta es suficiente, considere votarla y seleccionarla como la respuesta correcta.
Nit: "Cada vector base podría ser un vector de estado"; esto no es cierto. Elegimos vectores de base normalizados por Dirac todo el tiempo, pero un vector de estado tiene que estar normalizado por Kronecker.
@DvijD.C. ¡Verdadero!
¿Cuál es la diferencia entre un vector de estado y un vector base en la mecánica cuántica?
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