¿Cuál es la diferencia entre la serie Balmer de hidrógeno y deuterio?

El análisis cuántico completo del átomo de hidrógeno es un problema cuántico de dos cuerpos, sin embargo, uno de esos cuerpos es extremadamente masivo en comparación con el otro, por lo que este problema, como primera aproximación, se analiza resolviendo el primer cuantizado (es decir, para una partícula cuántica en un entorno clásico) Ecuaciones de Schrödinger o Dirac para el potencial cuadrado inverso relativo a un punto central fijo. Como probablemente sepa, en realidad el punto central no es fijo y la solución completa requiere que tanto el núcleo cargado como el electrón sean tratados mecánicamente cuánticamente. Claramente, los valores propios de energía para este sistema de dos cuerpos serán diferentes de los derivados del primer tratamiento cuantificado.

Una corrección de primer orden a la suposición simplificadora es usar una masa reducida para el electrón como se describe en el comentario de Ben:

$$\mu = \frac{m_e\,M_N}{m_e+M_N}$$

dónde$m_e$es la verdadera masa del electrón y$M_N$la masa del núcleo. Como puede ver, dado que la proporción de masa de electrones de protones es 1836 más un poco,$\mu$es menos que$m_e$por el porcentaje de aproximadamente$100 m_e / M_n$, o alrededor del 0,2%. si reemplazamos$M_N$por la masa del deuterón, esta diferencia se reduce a la mitad, es decir, la reducción es ahora del 0,1%.

El artículo "Reduced Dirac Equation And Lamb Shift As An Off-mass-shell Effect In Quantum Electrodynamics" de Ni Guang-jiong, Xu Jianjun y Lou Senyue analiza la validez de la masa reducida para la ecuación de Dirac.

Sin embargo, es de esperar que ahora pueda ver qué hacer para una primera aproximación simple. tu constante$C = 4/R_H$, dónde$R_H$es la constante de Rydberg:

$$R_\infty = \frac{4}{C} = \frac{m_e q^4}{8 {\epsilon_0}^2 h^3 c}$$

pero ahora usas la masa reducida$\mu$en vez de$m_e$. De manera más general, para cualquier línea, haga lo mismo con la solución general de la ecuación de Dirac del átomo de hidrógeno dada en el artículo anterior o en la sección "Resumen matemático de los estados propios" en la página Wiki del átomo de hidrógeno .

Su problema es una ilustración muy simple de cómo la afirmación de que "la química es independiente de todas las propiedades nucleares además del número atómico" comienza a desmoronarse. Todas las masas de isótopos influyen en los estados propios de los electrones, y esta influencia es más fuerte con los elementos más ligeros. En particular, un hecho un poco extraño que me gusta tener en cuenta es que el agua pesada no sustentará una vida "superior". Las energías del enlace hidrógeno-oxígeno dependen de si el hidrógeno en el agua es protio o deuterio, y esta diferencia influye en la bioquímica en última instancia de manera letal para los eucariotas y los organismos eucariotas multicelulares. En particular, el funcionamiento del huso mitótico y otras estructuras reproductivas sexuales eucariotas que dependen en gran medida de los enlaces de hidrógeno, a su vez afectados por la energía del enlace OH, pueden interrumpirse.Página Wiki de agua pesada: sección "Efecto en los sistemas biológicos" . Muchos procariotas (bacterias asexuales y arqueas), sin embargo, prosperan en agua pesada sin obstáculos.

$$\frac{1}{\lambda} = \frac{4}{C_M}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right) = R_M\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right),$$ dónde $R_M = 4/C_M$es la constante de Rydberg para el átomo particular: $$R_M = R_\infty\left(1+\frac{m_\text{e}}{M}\right)^{-1},$$ con $m_\text{e}$la masa del electrón, $M$la masa del núcleo atómico y $$R_\infty = 1.0973\,731\,568\,539\times 10^7\;\text{m}^{-1}.$$ Por Hidrógeno obtengo, $$\begin{align} R_H &= R_\infty\left(1 + \frac{5.4857990943\times 10^{-4}\;\text{u}}{1.007276466812\;\text{u}}\right)^{-1},\\ &= 1.0967\,758\,341\times 10^7\;\text{m}^{-1},\\[2mm] C_H &= 4/R_H = 364.70534\;\text{nm}, \end{align}$$ y por deuterio obtengo, $$\begin{align} R_D &= R_\infty\left(1 + \frac{5.4857990943\times 10^{-4}\;\text{u}}{2.013553212724\;\text{u}}\right)^{-1},\\ &= 1.0970\,742\,659\times 10^7\;\text{m}^{-1},\\[2mm] C_D &= 4/R_D = 364.60613\;\text{nm}. \end{align}$$ Nota: No he verificado estos números.