(Reformulación de la parte 1 de Campo electromagnético como conexión en un paquete vectorial )
Estoy buscando una buena notación para secciones de paquetes de vectores que sea invariable y que haga referencia a las coordenadas del paquete. ¿Hay una notación estándar para esto?
Fondo:
En mecánica cuántica, la función de onda de un electrón se suele introducir como una función dónde es el espacio-tiempo, generalmente .
Sin embargo, al modelar el electrón en un campo electromagnético, es mejor pensar en como una sección en un -paquete de vectores . De hecho, en sí mismo no es una sección, es solo la imagen de una sección en una trivialización local particular del haz vectorial. En una trivialización local diferente (= un calibre diferente), la imagen será con un factor de fase diferente.
Desafortunadamente, me siento incómodo con esta notación. Es decir, preferiría una notación invariable, como para el paquete tangente. para una sección del paquete tangente (= un campo vectorial), puedo escribir . Esta expresión menciona las coordenadas en un sistema de coordenadas particular, pero también es invariante , porque también escribo el vector base del sistema de coordenadas.
El gran beneficio de la notación vectorial es que trata automáticamente los cambios de coordenadas: .
Mi pregunta:
¿Existe una notación para secciones de paquetes vectoriales que sea similar a la notación para el paquete tangente? ¿Cómo se ve para nuestro ejemplo particular? ?
Si no, ¿cuáles son las notaciones habituales/estándar para esto? ¿Cómo realizan un seguimiento de las coordenadas del paquete?
Editar : me di cuenta de que lo que escribí no era realmente correcto, así que déjame cambiar un poco el texto. Marcaré las adiciones en cursiva , para que el texto antiguo quede como referencia.
Le di una respuesta (parcial) a esto en la actualización de mi respuesta a su pregunta anterior, así que déjeme copiar y pegar esa respuesta (con algunas modificaciones):
¡ La respuesta a la primera pregunta es no, pero por una razón diferente a la que indiqué en el enlace anterior y en el texto a continuación! . No existe tal notación y para ver por qué, primero tenemos que entender de dónde viene la invariancia del vector "sin coordenadas". El en tu pregunta es una sección de un paquete tangente y lo estamos descomponiendo con respecto a alguna sección del paquete de marcos tangentes canónicos , que también conlleva una acción natural del grupo (la acción es un cambio local de base y es el rango de ). En otras palabras, tenemos un -estructura aquí.
La situación es superficialmente similar con : es una sección de un paquete vectorial que lleva un -estructura. En este punto también debe quedar claro dónde está la diferencia entre los dos casos: en el primero tienes dos paquetes y mientras que en el segundo solo hay . Así que realmente no tiene sentido pedir ser más invariable de lo que ya es: no tienes nada con respecto a lo que puedas descomponerlo. Así que en lugar de pensar en como un análogo de la sección de , piénselo en cambio como un análogo de una sección de .
Cometí un error en el razonamiento anterior porque en el caso de unidimensional los conceptos de y (haz de marco asociado) coinciden. Así que también tienes dos paquetes en el segundo caso. Pero la diferencia viene del hecho de que es un paquete vectorial muy especial: su estructura proviene de la variedad mismo, mientras que es una estructura extrínseca. Por lo tanto, ciertamente no puede obtener una descomposición con respecto a las derivadas coordinadas en como es el caso de .
En cuanto a la segunda pregunta: en las teorías de calibre, uno suele fijar el calibre de antemano (piense en el calibre de Lorenz o Coulomb) y trabaja en eso para siempre. Realmente no obtienes nada interesante aquí trabajando de alguna manera "sin calibre" (o al menos no lo sé). Entonces, estas cosas realmente no son un problema, al menos hasta el momento en que te encuentras con QFT y comienzas a preguntarte cómo dar cuenta de toda esta enorme libertad de calibre. Y allí, en realidad, hay un gran problema que debe abordarse y puede abordarse de varias maneras (incluida la fijación de calibre). Pero nada de esto es relevante para ti en este momento, supongo.
Lo siento, acabo de notar su comentario sobre una pregunta anterior en la que dijo que haría una pregunta separada. Aquí hay una respuesta. (Perdón por cualquier superposición con la de marek).
Así como para hablar sobre vectores en un espacio vectorial n-dimensional como n-tuplas de números, primero debe elegir la base, para hablar sobre secciones de paquetes de vectores de manera concreta, debe elegir un "marco". (que es solo una forma elegante de decir una familia de vectores/secciones base). Entonces la notación es exactamente como antes, una sección parece (resumido ).
En su ejemplo de una función de onda para una partícula cargada, el paquete vectorial es unidimensional (complejo), por lo que el vector de base única generalmente se elimina de la notación. Pero debería estar ahí, moralmente, como usted nota.
Una transformación de calibre por equivale a cambiar su vector base al multiplicarlo por , entonces el vector (invariante) tiene coordenadas en la nueva base. El campo de calibre es una matriz de 1x1, y debe cambiarse agregando . De esa manera tiene sentido invariable, donde es el cargo (o representación, diciendo cómo actúa sobre -- es decir, multiplicando con Al frente).
Espero que haya ayudado.
Greg Gravitón
Greg Gravitón
Marek