¿Por qué en algunos casos el componente 0α0α0\alpha del tensor de tensión-energía no forma 4 vectores?

Question

¿Por qué en algunos casos el componente 0α0α0\alpha del tensor de tensión-energía no forma 4 vectores?

andres macaddams

En electrodinámica existe el vector de Poynting y la densidad de energía, que se refieren a $0\alpha$ componentes del tensor de tensión-energía, no cree 4 vectores. Situación análoga con la densidad de masa y la densidad de corriente de masa en la relatividad general. Entonces, ¿por qué no forman 4 vectores (con qué propiedad está conectado)?

usuario23660

El

T_{0 α}

$T_{0\alpha}$ los componentes nunca forman 4 vectores. Son componentes del tensor de segundo rango.

T_{0 i}

$T_{0i}$ por otro lado, forma 3 vectores con respecto a la transformación de solo coordenadas espaciales.

andres macaddams

@ user23660: me refiero a la representación integral del vector de impulso debido a los componentes del tensor de energía de tensión

0 α

$0\alpha$ .

Ján Lalinský

Creo que en el caso del campo EM, el

T_{0 α}

$T_{0\alpha}$ componentes forman un cuatro vector si no hay corrientes presentes, ya que

\partial^{α} T_{0 α} = 0

$\partial^\alpha T_{0\alpha} = 0$ en cada marco inercial.

Respuestas (1)

¿Por qué en algunos casos el componente 0α0α0\alpha del tensor de tensión-energía no forma 4 vectores?

El $T_{0\alpha}$ los componentes nunca forman 4 vectores. Son componentes del tensor de segundo rango. $T_{0i}$ por otro lado, forma 3 vectores con respecto a la transformación de solo coordenadas espaciales.
@ user23660: me refiero a la representación integral del vector de impulso debido a los componentes del tensor de energía de tensión $0\alpha$ .
Creo que en el caso del campo EM, el $T_{0\alpha}$ componentes forman un cuatro vector si no hay corrientes presentes, ya que $\partial^\alpha T_{0\alpha} = 0$ en cada marco inercial.

Valter Moretti · Answer 1

Quizás no entendí tu pregunta. Sin embargo, refiriéndose al tensor de tensión-energía, el cuatro vector que desea es:

S_{v} = \int_{Σ_{t}} T_{0 v} d^{3} X

$S_\nu = \int_{\Sigma_t} T_{0\nu} d^3x$

dónde $\Sigma$ es el resto 3 espacios $x^0=t$ del marco de referencia de Minkowski con coordenadas $x^0,x^1,x^2,x^3$ . En vista de la relación $\partial_\mu T^{\mu \nu}=0$ la definición de $S$ no depende (1) del marco de referencia minkonskiano utilizado, (2) del valor de $t$ , (3) define un cuatrivector, y (4) se conserva: $\partial_\mu S^\mu=0$ .

Todo eso es cierto si la región en el espacio-tiempo donde $T \neq 0$ tiene una intersección compacta con cada uno de esos $\Sigma_t$ (es suficiente que ocurra para que uno de ellos sea válido para todos y para todos los marcos de referencia). Sin embargo, esta condición puede debilitarse.

Las pruebas de todo lo que escribí surgen fácilmente del teorema de la divergencia (de cuatro dimensiones).

NOTA AÑADIDA. Toda la discusión anterior se mantiene en el espacio-tiempo de Minkowski, en el espacio-tiempo curvo la imagen se vuelve más complicada. En un espacio-tiempo curvo globalmente hiperbólico, se obtiene una corriente conservada a partir de un tensor de energía de tensión conservado simétrico en presencia de un vector Killing $\xi$ . Entonces $J^\mu:=\xi_\nu T^{\nu\mu}$ verifica $\nabla_\nu J^\nu=0$ . En este caso

q := \int_{Σ} j^{m} {norte}_{m} d m

$Q:= \int_\Sigma J^\mu n_\mu d\mu$ es una "carga" conservada independiente de la superficie de Cauchy similar al espacio

Σ

$\Sigma$ . Arriba

μ

$\mu$ es la medida natural inducida en

Σ

$\Sigma$ por la métrica del espacio-tiempo y

n

$n$ el covector normal unitario. los componentes de

S^{μ}

$S^\mu$ arriba tienen esta estructura,

ξ_{ν}^{(μ)}

$\xi^{(\mu)}_\nu$ siendo los campos vectoriales constantes en el espacio-tiempo de Minkowski asociados con un marco de referencia de Minkowski.

Pero hay una pequeña pregunta: ¿cómo es exactamente la relación $\partial_{\mu}T^{\mu \nu}$ define $S_{\nu}$ de su respuesta como 4-vector?
Considere dos marcos de referencia Minkowskianos diferentes $J$ y $J'$ conectado por una cierta transformación de Lorentz, $\Lambda$ , y definir los cuatro números correspondientes $S_\mu$ y $S'_\alpha$ usando el mismo tensor $T$ e integrándose sobre el respectivo espacio de descanso. Entonces, el teorema de la divergencia, la relación $\partial_\nu T^{\nu\rho}=0$ , y el hecho de que $T$ es un tensor de salida a $S'_\alpha = \Lambda_\alpha^\beta S_\beta$ .
Sin embargo, esta definición depende de la existencia de un marco de referencia minkowskiano. En GR completo, se debe tener cuidado al definir qué significa esa integral.
@JerrySchirmer: en GR necesitamos tomar la integral $\int (-g)(T^{0 \nu} + \tau^{0 \nu})d^{3}x$ , dónde $\tau$ es el pseudotensor de Landau-Lifshitz.
@AndrewMcAddams: y necesita proyectar en la unidad normal, en lugar de simplemente tomar el componente 0, y debe definir invariablemente lo que quiere decir con una integral de valor vectorial, ya que no está claro a qué espacio tangente pertenece. Incluso cuando se hace algo como definir el momento del ADM, termina con basura a menos que proyecte en una tétrada que conecta su geometría física con una plana en la superficie donde está calculando la integral. No es trivial.
@Jerry Schirmer ¡Claro! ¡Interpreté toda esta pregunta en el espacio-tiempo de Minkowski! En un espacio-tiempo curvo globalmente hiperbólico, también necesita un vector Killing $\xi$ . Una corriente conservada es entonces $J^\mu := \xi_\nu T^{\nu\mu}$ (donde se supone que el tensor tensión-energía es simétrico). En este caso $\int_\Sigma J^\mu n_\mu \sqrt{\det{h}} d^3x$ es una "carga" conservada independiente en la superficie de Cauchy $\Sigma$ .
@V.Moretti: "...entonces, el teorema de la divergencia, la relación $\partial_{\nu}T^{\nu \rho} =0$ , y el hecho de que $T$ es un tensor de salida a $S′_{\alpha}= \Lambda^{\beta}_{\alpha}S_{\beta}$ ...", pero ¿por qué necesitamos el teorema de la divergencia para demostrar que $S_{\alpha}$ es un 4-vector? Solo es posible reescribir su definición en una forma de $S v = \int t = c o norte s t, un l l s pags un do mi T μ ν Σ m,$ $S^{\nu} = \int_{t = const, all space} T^{\mu \nu}\Sigma_{\mu},$ lo que demuestra que $S^{\nu}$ se refiere a 4 vectores.
@Andrew McAddams No, no funciona. Primero debe definir un conjunto de cuatro componentes para cada referencia minkowskiana, integrando $T$ en el marco de descanso correspondiente. A continuación, debe demostrar que estos conjuntos de componentes se transforman con las transformaciones de Lorentz correctas. Esto no es en modo alguno obvio y la relación de conservación juega un papel fundamental para demostrarlo.
@V.Moretti: así lo defino $S 1 v = \int T 0 v d Σ 0 t = c o norte s t, S 2 m = \int T 0 μ' d Σ' 0 t = c o norte s t,$ $S^{1}_{\nu} = \int T_{0 \nu}d\Sigma^{0}_{t= const}, \qquad S^{2}_{\mu} = \int T_{0 \mu}{'}d\Sigma{'}^{0}_{t = const},$ $T 0 μ' d Σ 0' = Λ β m T 0 β d Σ 0,$ $T_{0 \mu}{'}d\Sigma^{0}{'} = \Lambda_{\mu}^{\quad \beta}T_{0 \beta}d\Sigma^{0},$ y luego $S 2 m = \int Λ v m T 0 v d Σ 0 t = c o norte s t .$ $S^{2}_{\mu} = \int \Lambda_{\mu}^{\quad \nu}T_{0 \nu}d\Sigma^{0}_{t = const}.$ Entonces, ¿dónde en el próximo paso debo usar la relación? $\partial_{\mu}T^{\mu \nu} = 0$ por probar que $S_{\mu}$ es un 4-vector?
Aunque la identidad $T' d\Sigma' = \Lambda T d\Sigma$ es correcta sobre un punto, digamos $p$ , el resultado final no se debe a que esté integrando en dos diferentes $3$ -superficies que están muy lejos unas de otras tan pronto como se sale de $p$ . Para conectar estas integrales tienes que usar el teorema de la divergencia y la ecuación de conservación.

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