Simetrías globales del espacio-tiempo y covarianza general

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Simetrías globales del espacio-tiempo y covarianza general

Física
simetría
covarianza
tensor-métrico
sistemas coordinados
relatividad general

usuario91411

Estoy autodidacta GR. Esta es una publicación bastante larga, pero necesitaba aclarar algunas cosas sobre el efecto de las transformaciones de coordenadas generales en las simetrías globales de la métrica. Cualquier comentario, ideas son muy apreciadas.

Para ser concretos consideremos que $g_{\mu\nu}$ representa un espacio-tiempo axialmente simétrico, es decir, un agujero negro de Kerr. En coordenadas de Boyer-Lindquist ( $t,\, r,\, \theta,\, \phi$ ) la métrica no depende de $t$ y $\phi$ (son coordenadas cíclicas):

{gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v} = - (1 - \frac{2 METRO r}{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ}) d t^{2} - \frac{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ}{r^{2} + 2 METRO r + a^{2}} d r^{2} + (r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ) d θ^{2} + (r^{2} + a^{2} + \frac{2 METRO a^{2} r {pecado}^{2} θ}{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ}) {pecado}^{2} θ d ϕ^{2} - \frac{2 METRO a r {pecado}^{2} θ}{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ} d t d ϕ

$g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}=-(1-\frac{2Mr}{r^2+a^2\cos^2{\theta}})\,dt^2-\frac{r^2+a^2\cos^2{\theta}}{r^2+2Mr +a^2} dr^2 +(r^2+a^2\cos^2{\theta})\, d\theta^2 \\ \,\,\,+ \left( r^2+a^2+ \frac{2Ma^2 r \sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right) \sin^2{\theta}\, d\phi^2 - \frac{2Ma r \sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}} dt\, d\phi$

En consecuencia, la energía de la partícula $E_0$ y momento angular $L_0$ se conservan. Supongamos que hago una transformación de coordenadas: $d \bar{x}^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\,\,\nu}\,dx^{\nu}$ donde, si no me equivoco, $\Lambda$ es una matriz, que es un elemento del grupo lineal general GL $\,(4,\,R)$ con un determinante distinto de cero. En las nuevas coordenadas, la métrica puede no tener coordenadas cíclicas, un buen ejemplo sería la representación de la métrica anterior en coordenadas Kerr-Schild:

\begin{aligned} {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v} = & - d {\bar{t}}^{2} + d X^{2} + d y^{2} + d z^{2} \\ + \frac{2 METRO r^{3}}{r^{4} + a^{2} z^{2}} {[d \bar{t} + \frac{r (X d X + y d y) + a (X d y - y d X)}{r^{2} + a^{2}} + \frac{z d z}{r}]}^{2} \\ dónde r^{4} + (X^{2} + y^{2} + z^{2}) r^{2} - a^{2} z^{2} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}=&-d\bar{t}^2+dx^2+dy^2+dz^2 \\ &+ \frac{2Mr^3}{r^4+a^2z^2} \left[d\bar{t} + \frac{r(x \,dx+y \,dy)+a(x\,dy-y\,dx)}{r^2+a^2} + \frac{z\,dz}{r} \right]^2\\ &\text{where}\qquad r^4+ (x^2+y^2+z^2)\, r^2 -a^2 z^2=0 \end{align}$

Ahora solo hay una coordenada cíclica, $\bar{t}$ . Supongo que, en principio, podemos introducir nuevas coordenadas donde ninguna de las coordenadas parezca ser cíclica en forma funcional de $g_{\mu\nu}\, dx^{\mu}dx^{\nu}$ . Supongamos que hago tal transformación de coordenadas. Mis preguntas son:

¿Tiene la nueva métrica todavía simetrías globales, es decir, cantidades conservadas que corresponden a $E_0$ y $L_0$ ?
Si la respuesta a la primera pregunta es sí, supongamos que le doy esta nueva métrica a alguien sin informarle sobre la transformación de coordenadas y le pregunto si hay alguna simetría. ¿Será capaz de encontrar simetrías encontrando órbitas cerradas en el flujo geodésico?

Para mí, la respuesta a las dos preguntas anteriores parecía ser sí. Creo que la integrabilidad (en el sentido de Liouville) de la métrica no debería depender de la definición de las coordenadas. En otras palabras, debido a las simetrías globales, esperamos geodésicas limitadas alrededor del agujero negro. En las coordenadas antiguas, podemos calcular fácilmente tales trayectorias cerradas y, según mi forma de pensar, existen geodésicas cerradas (los objetos giran alrededor del agujero negro) independientemente de cómo etiquetemos las coordenadas.

Pero no podía estar seguro de esto. Para explicar mi confusión déjame escribir:

\frac{d X^{m}}{d s^{2}} + Γ_{v λ}^{m} \frac{d X^{v}}{d s} \frac{d X^{λ}}{d s} = 0

$\frac{d x^{\mu}}{ds^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} \frac{d x^{\nu}}{ds} \frac{d x^{\lambda}}{ds}=0$

que da el flujo geodésico. La existencia de las trayectorias acotadas aquí depende del número de ceros y polos del símbolo de Christoffel, y también de sus ubicaciones relativas. La cuestión es que uno puede jugar con estos parámetros haciendo una transformación de coordenadas arbitraria pero invertible a la métrica y, por lo tanto, cambiar el flujo. Además, tal vez algo relacionado con esto, se señaló aquí que una transformación de coordenadas, cuando se ve como un difeomorfismo, no siempre asigna geodésicas a geodésicas a menos que sea una isometría.

Entonces, ¿cuál es la forma correcta de pensar en esto? ¿Todas las transformaciones de coordenadas/difeomorfismos conservan las simetrías globales? o un subgrupo de ellos?

Respuestas (2)

Simetrías globales del espacio-tiempo y covarianza general

Valter Moretti · Answer 1

Las simetrías continuas son los grupos de isometrías de un parámetro generados por los campos vectoriales Killing . Un campo vectorial asesino $X$ se define por el requisito ( ${\cal L}_X$ es la derivada estándar de Lie a lo largo de $X$ )

\begin{matrix} (1) & L_{X} gramo = 0 \end{matrix}

${\cal L}_X g =0\tag{1}$ que es equivalente a la famosa ecuación de Killing

\begin{matrix} (1') & \nabla_{a} X_{b} + \nabla_{b} X_{a} = 0 . \end{matrix}

$\nabla_a X_b + \nabla_b X_a =0\:.\tag{1'}$

Estas ecuaciones son intrínsecas, por lo que son válidas en todos los sistemas de coordenadas.

Es posible probar que el espacio de vectores Killing es un espacio vectorial de dimensión finita y por tanto admite una base. Determinar una base de Campos de muerte corrige todas las simetrías continuas de su espacio-tiempo.

Si arreglas un campo de exterminio $X$ e integrarlo, tienes una congruencia de curvas a través del espacio-tiempo. En una vecindad de cada punto puedes completar estas curvas con otras $n-1$ curvas para construir un sistema de coordenadas $x^1, \ldots, x^n$ dónde $X = \frac{\partial}{\partial x^1}$ . En ese sistema de coordenadas, (1) toma una forma simple

\frac{\partial {gramo}_{a b}}{\partial X^{1}} = 0 .

$\frac{\partial g_{ab}}{\partial x^1}=0\:.$ Esa es la razón por la cual las simetrías se pueden ver mirando los componentes de la métrica en sistemas de coordenadas adecuados. Debe ser evidente que el cambio de coordenadas no conserva esta propiedad. Si interpreta activamente los cambios de coordenadas, esto es lo mismo que decir que los difeomorfismos generalmente no conservan las simetrías.

Sin embargo, existe una razón fundamental por la que este procedimiento (intentar representar las simetrías mediante una adecuada elección de coordenadas) no puede exhibir todas las simetrías continuas de la métrica simultáneamente.

Si compone todas las simetrías continuas de todas las formas posibles, obtiene un grupo de Lie $S$ . Resulta que el álgebra de mentira $s$ de $S$ está representado por una base de Campos de exterminio: si $t_1,\ldots, t_k$ es una base de $s$ y las relaciones de conmutación se mantienen

\begin{matrix} (2) & [t_{i}, t_{j}] = \sum_{k = 1}^{k} C_{i j}^{k} t_{k} \end{matrix}

$[t_i,t_j] = \sum_{k=1}^k c_{ij}^k t_k \tag{2}$ el grupo de parámetros generado por el

t_{j}

$t_j$ definir simetrías continuas generadas por los campos Killing correspondientes

X_{j}

$X_j$ . El mapa

t_{j} \to X_{j}

$t_j \to X_j$ se extiende linealmente a un isomorfismo de álgebra de Lie porque resulta que (las constantes

c_{i j}^{k}

$c_{ij}^k$ son los mismos que antes)

\begin{matrix} (3) & {X_{i}, X_{j}} = \sum_{k = 1}^{k} C_{i j}^{k} X_{k}, \end{matrix}

$\{X_i,X_j\} = \sum_{k=1}^k c_{ij}^k X_k \tag{3}\:,$ dónde

{\cdot, \cdot}

$\{\cdot, \cdot \}$ es el conmutador de Lie estándar de campos vectoriales.

Aquí viene el problema con las coordenadas. Salvo casos esencialmente triviales, $S$ no es abeliano y por lo tanto algunas de las constantes $c_{ij}^k$ no desaparezcas Si $X_i$ y $X_j$ Si fueran vectores tangentes a las coordenadas correspondientes de un sistema de coordenadas, tendríamos

\begin{matrix} (3') & {X_{i}, X_{j}} = {\frac{\partial}{\partial X^{i}}, \frac{\partial}{\partial X^{j}}} = 0 \end{matrix}

$\{X_i,X_j\} = \left\{\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right\} =0 \tag{3'}\:$ en cambio. Entonces, el uso de coordenadas no es tan útil y los procedimientos directos para determinar una base de soluciones de (1) o (1') son seguramente más efectivos.

Como un ejemplo trivial del problema, piense en la métrica plana euclidiana estándar de $\mathbb R^3$ . Admite el grupo completo de rotaciones alrededor del origen como (sub)grupo de simetría. Sin embargo, es imposible construir un sistema de coordenadas correspondiente a la acción de rotaciones alrededor de los tres ejes simultáneamente. A lo sumo una coordenada puede ser la línea integral de la acción de rotaciones alrededor de un eje (sucede en coordenadas esféricas y $\phi$ es tal coordenada que describe rotaciones alrededor del $z$ eje y la componente de la métrica en coordenadas esféricas no dependen de $\phi$ ). La razón es que el grupo de rotaciones $SO(3)$ no es abeliano. Por el contrario, las coordenadas cartesianas ortonormales estándar representan simultáneamente la acción de los tres subgrupos de traslaciones: esto no es un problema ya que las traslaciones de $\mathbb R^3$ formar un grupo abeliano.

Valter, gracias por señalar la conexión entre las coordenadas no cíclicas y la estructura subyacente del grupo no abeliano. Es cierto que la ecuación de Killing es el camino a seguir, pero encontrar soluciones para $X_a$ , Asumo que tienes que arreglar las coordenadas de todos modos... Así que déjame preguntar esto de una manera más refinada. ¿Crees que las transformaciones de coordenadas arbitrarias invertibles siempre conservan el número de soluciones independientes de la ecuación de Killing?
Sí, el número de campos vectoriales Killing linealmente independientes no depende de las coordenadas utilizadas, es una noción intrínseca.
Gracias por la aclaración. Una(s) pregunta(s) de seguimiento: en el caso de la métrica de Kerr, solo tenemos dos cantidades conservadas. ¿Siguen formando un álgebra de mentira? Tales cantidades conservadas no pueden ser observables válidas porque su valor numérico depende de la elección de las coordenadas, ¿verdad?
No entiendo lo que quiere decir con "cantidades conservadas", por lo que no puedo responder a su segunda pregunta. Si te refieres a los vectores Killing y al grupo de isometrías que generan, sí, el grupo de isometrías continuas es siempre un grupo de Lie. Tal vez tenga más de dos vectores Killing: si tiene dos vectores Killing, su conmutador sigue siendo un vector Killing (posiblemente el trivial).
Veo. Creo que son observables, ya que pueden calcularse como productos escalares de los cuatro impulsos de la partícula y el vector Killing relevante... y estos productos y los vectores Killing no dependen de las coordenadas utilizadas.
Estoy un poco confundido acerca de esto, agradecería si pudiera ilustrar el producto escalar para, digamos $E_0$ .. Supongo que el valor numérico de $g^{\mu\nu} p_{\mu}p_{\nu}$ debe conservarse bajo transformaciones de coordenadas. Entonces, por ejemplo, en las coordenadas de Boyer-Lindquist $p_t=-E_0, p_{\phi}=L_0$ . Ahora si hago $t$ y $\phi$ transformación dependiente, el valor numérico de la métrica cambiará y, para compensar, cambiarán los valores de impulso. Supongo que me estoy perdiendo algo.
Hay un vector de Matanza similar al tiempo $K$ que, en las coordenadas utilizadas toma la forma $\partial_t$ , sin embargo $K$ está bien definida en todos los sistemas de coordenadas. $E_0 = K^\mu p_\mu$ y esta expresión no depende de las coordenadas utilizadas...

usuario107153 · Answer 2

Bueno, las coordenadas no existen en la física: son solo etiquetas que necesitamos para poder hablar sobre la física. Siendo ese el caso, una transformación de coordenadas no puede hacer ninguna diferencia en el sistema físico que está describiendo: solo puede describir el sistema físico más o menos bien. Buenos ejemplos de 'menos bien' son aquellos en los que las coordenadas se degeneran y se obtiene una singularidad artificial: el famoso ejemplo de esto es la solución de Schwarzschild.

Por lo tanto, cualquier simetría física del sistema no debe verse afectada en absoluto por la elección de las coordenadas. Entonces, la respuesta a su primera pregunta es que sí, la métrica seguirá teniendo las simetrías que tenía, porque estas simetrías son propiedades de la física, no del sistema de coordenadas.

Sin embargo , estas simetrías pueden ser profundamente opacas, ya que realmente no hay límite para la mala elección de coordenadas que puedo hacer: siempre que $\Lambda^\mu{}_\nu$ no es singular, realmente puedo elegir cualquiera adecuadamente suave $\Lambda^\mu{}_\nu(x^\xi)$ que me gusta (aquí estoy usando $x^\xi$ para significar 'todas las coordenadas', así que realmente $\left\{x^\xi\right\}$ : no es un índice que pueda resumir).

Entonces, en general, si te doy una métrica expresada en algún sistema de coordenadas, ni siquiera puedes saber si es el mismo sistema físico que alguna otra métrica. Este es literalmente el caso: no hay ningún algoritmo que le diga si dos métricas describen el mismo sistema físico.

Entonces, creo que la respuesta a su segunda pregunta es no: puedo expresar una métrica de una manera tan horrible que es imposible saber qué está pasando.

Sin embargo , las cosas no son tan malas en la práctica. En particular, nunca elegirás una transformación horrible para oscurecer las cosas. E incluso si son oscuros, hay un montón de trucos heurísticos que puede usar para tratar de trabajar la métrica en una forma en la que las simetrías sean evidentes. Ha pasado mucho tiempo desde que supe lo suficiente sobre esto, pero creo que el tipo de cosas que desea buscar son la clasificación de Petrov, y también cualquier cosa que pueda encontrar sobre la clasificación de soluciones exactas (no puedo encontrar nada que no sea t ya sea en papel o detrás de un muro de pago, pero hay un montón de artículos y libros sobre este tema).

@CountTo10 Creo que sí, sí. Sin embargo, también estoy trabajando desde una memoria bastante lejana.
Esto es simplemente incorrecto. No hay forma de diferenciar entre difeomorfismo activo o pasivo (reetiquetado). Cambiar las coordenadas cambia la métrica y, por lo tanto, también la física. Tomemos por ejemplo el caso de una esfera 2. Estirarla es difeomorfismo activo mientras que cambiar la métrica (por transformación de coordenadas) de tal manera que la esfera parezca estirada es difeomorfismo pasivo. Dado que la métrica es parte de las variedades de Riemann, no hay forma de diferenciar entre las dos transformaciones.
De hecho, existe un algoritmo que indica si dos métricas describen el mismo sistema físico o no. Se llama algoritmo de Cartan-Karlhede.
@amateurRebel: no poder distinguir entre cambios de coordenadas (que claramente no importan) y difeomorfismos (activos) (que sí) es parte del problema. Otra parte es que cosas como el 'algoritmo' de Cartan-Karlhede no lo son: todas estas cosas implican poder responder preguntas como si $E = 0$ por alguna expresión $E$ , y eso no es computable en general.
@amateurRebel: en particular, para cualquier algoritmo en particular, es posible elegir un sistema de coordenadas para el espacio-tiempo plano, ese algoritmo no puede saber que la curvatura es idénticamente cero.

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