Los dos enlaces siguientes proporcionan una breve introducción a la coma pitagórica:
La coma pitagórica - Universidad de Indiana
La "coma pitagórica" - Jody Nagel
El artículo de wikipedia sobre este tema también es bastante bueno.
Continuaré refiriéndome al enlace de Jody Nagel por el resto de esta publicación. Permítanme definir dos términos más antes de continuar. Defino an Octave Jumpcomo una multiplicación por 2 y a Fifth Jumpcomo una multiplicación por 3/2.
Si parte de una frecuencia de 100 Hz, después de 7 Octave Jumpsllega a 12800 Hz (es decir, 100 Hz * 2^7). Del mismo modo, si comienza desde el mismo lugar, después de 12 Fifth Jumpsalcanza 12974.634 Hz (es decir, 100 Hz * (3/2) ^ 12). Los números 12800 y 12974.634 están muy cerca y la diferencia entre ellos es muy pequeña. Esta es una buena ilustración de las comas pitagóricas, supongo. Pero, ¿cuál es el significado de este error?
Yo estaba intrigado porque Euclides parece haber analizado esto. Pero es obvio que las potencias de 3/2 y las potencias de 2 nunca pueden converger en el mismo punto. Eso, estoy seguro, también era obvio para Euclides (siglos por delante de sus contemporáneos). Entonces, ¿por qué se estaba analizando esto? ¿Cuál es el significado musical de la coma pitagórica?
Es importante cuando intenta afinar un instrumento de oído, utilizando la pureza de los intervalos como guía. Usted (y las páginas que vincula) se refieren a saltar 7 octavas frente a 12 quintos, pero no olvide que cualquier nota que alcance de esa manera también puede bajar una o más octavas.
Para ilustrar esto, traigamos todas las notas a la misma octava. En aras de la simplicidad, definamos un nuevo intervalo compuesto: a Whole Tonese obtiene ascendiendo dos quintas perfectas y luego descendiendo una octava (por ejemplo, C a D). En términos de proporciones, esto es equivalente a multiplicar una frecuencia por:
Dado que los centavos son unidades logarítmicas, la misma fórmula se puede expresar como una suma:
En un momento, definiremos una escala de tonos completos, pero primero echemos un vistazo a la línea de quintas, solo para refrescar nuestros recuerdos de cómo se nombran estas notas. Específicamente, observe cómo cada quinto sucesivo debe nombrarse con la letra que es cinco letras "más alta" (contando ambos extremos), incluso si tiene que modificarse mediante un sostenido o un bemol. Esto será importante cuando empecemos a nombrar las notas. También tenga en cuenta que la línea es infinita.
si♭♭ - fa♭ - do♭ - sol♭ - re♭ - la♭ - mi♭ - si♭ - fa - do - sol - re - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯ - re♯ - La♯ - Mi♯ - Si♯ - Fa♯♯
Ahora estamos listos para crear una escala a partir de tonos enteros. Dado que cada tono completo está a dos quintas de distancia, estamos usando el nombre de la nota dos lugares a la derecha a lo largo de la línea de quintas (que siempre usará la siguiente letra en la secuencia alfabética). No calcularé ninguna frecuencia real aquí, solo la relación de frecuencia y el número de centavos de diferencia entre cada nota y nuestra nota inicial.
Aquí puede ver que nuestra escala de "una octava" en realidad superó una octava por una coma pitagórica (precaución: he sido un poco descuidado al redondear los valores de centavos: 1224 en realidad debería ser 1200 + P. Coma). Hay una diferencia leve, pero clara, entre el sonido de un B♯ y un C: si intenta sustituir uno por otro, sonará claramente desafinado.
Quitar un B♯ puede no parecer gran cosa; de todos modos, nadie usa mucho esa nota, ¿verdad? -- pero si sigue este proceso al revés, puede bajar 204 centavos a la vez desde la C alta y obtener las siguientes notas:
Al comparar los dos gráficos, ahora tenemos un problema porque cada nota en nuestra escala tiene al menos un doppelganger con nombres alternativos, separados por una coma pitagórica (por ejemplo, F♯ a 612 centavos frente a G♭ a 588 centavos). Algunos de estos pueden parecer que no tienen mucho sentido (sería una pieza rara que necesita usar D ♭ ♭ o B ♯ en lugar de C, aunque teóricamente podría surgir). Pero algunos casos surgen con bastante frecuencia. Si está tocando en la tonalidad de La menor, entonces G♯ (816 centésimas) aparece con frecuencia como tono principal. Pero si quiere tocar en una tonalidad como do menor, fa menor o cualquier tonalidad en el lado "plano" del círculo, entonces extrañará mucho ese la♭ (792 centavos), que será dolorosamente desafinado si intenta sustituir el G♯ (tal vez podría tocar en la tonalidad de G♯ en lugar de A♭, pero entonces
Si su instrumento es capaz de reproducir cualquier tono posible (p. ej., voz humana y cuerdas sin trastes), no le importa, simplemente ajuste según sea necesario. Pero si está diseñando un instrumento con un número fijo de tonos, como un teclado, debe proporcionar una forma de tocar ambos , o simplemente nunca usar uno de ellos.
Hay algunas soluciones posibles:
Como nota al margen histórica, este no cierre del círculo de quintas realmente no pareció molestar a los compositores del Renacimiento y el Barroco temprano; en su mayoría eran felices escribiendo en un número limitado de claves (aunque el mayor uso del cromatismo en el Barroco comenzó a exacerbar el problema). Lo que se vio como un problema mucho peor con la afinación pitagórica fueron sus tercios desafinados: CE es (9/8) 2 , o 408 centavos, mientras que un tercio mayor "puro" (según la serie armónica) tiene la proporción ( 5/4), o 386 centavos. Esta diferencia, que acaba siendo de unos 21,5 céntimos, se denomina Coma Sintónica (distinta de la Coma Pitagórica). Los compositores y teóricos de la época estaban enamorados de las terceras, por lo que un sistema de afinación popular utilizado en el Renacimiento y principios del Barroco era Quarter Comma Meantone.. Este sistema hizo que todas las quintas fueran demasiado planas por 1/4 de la coma sintónica, más de lo que se necesitaba para cerrar el círculo, de modo que las terceras mayores estarían perfectamente afinadas. En realidad, esto compensó en exceso el problema del no cierre y, de hecho, lo empeoró. Por ejemplo, usando tres tercios mayores puros, un B♯ termina siendo considerablemente menor que C:
Observe aquí que nuestro Meantone B♯ se queda por debajo de C en aproximadamente el doble de lo que nuestro Pitagorean B♯ lo sobrepasa. Por lo tanto, este sistema tiene todos los mismos problemas de no cierre (y posibles soluciones) que discutimos anteriormente, solo que peores y en la dirección opuesta.
Fue una compensación que tenía sentido en ese momento, pero eventualmente los compositores querían hacer más. Se dice que Bach, por ejemplo, atormentó a su organista tocando ese acorde de La♭ terriblemente desafinado a todo volumen.
Para completar lo que dice Caleb en su respuesta, agregué esto, hace unos años, al artículo de Wikipedia en francés sobre las comas, que también podría ayudar a aclarar su pregunta:
De hecho, cuando extendemos la coma pitagórica sobre, por ejemplo, 4 quintos (do-sol-re-la-mi), entonces el intervalo del tercer do-mi se trunca con una coma pitagórica. Truncado por una coma sintónica, este tercer do-mi sería puro (proporción 5/4)... Pero dada la casi equivalencia entre las dos comas pitagórica y sintónica (que es matemáticamente notable), esto está bien en los cálculos de temperamento, que, estando físicamente preocupados por dividir la coma pitagórica sobre el círculo de quintas, están de hecho principalmente interesados en reducir la falsedad de las terceras, ¡ligada a la coma sintónica!
(porque la falsedad de las quintas mismas, si se reparten regularmente sobre el círculo, no sería un problema en sí mismas: como probablemente habrás adivinado, una diferencia de 12 de coma en una quinta nunca es realmente un tema en sí mismo. Pero, por el contrario, una diferencia completa o diferencia de media coma, en un tercio, o cualquier intervalo, es un tema real.)
(fuente de la idea: "Musique et tempérament", Pierre-Yves Asselin, Éditions JOBERT, 2000, 236 p. (ISBN 2-905335-00-9) )
viejo juan