¿Es esta una traducción adecuada de ∃x(∅∈x)∃x(∅∈x)\exists x(\emptyset \in x) en L∈L∈\mathcal{L}_{\in}?

lógica
Matemáticas
lógica de primer orden

Dios los bendiga

El símbolo $\emptyset$ no existe en el lenguaje de primer orden de la teoría de conjuntos $\mathcal{L}_{\in}$ . Podemos extender este lenguaje para incluir este símbolo con esta definición:

\forall y (y = \emptyset \leftrightarrow \forall z (z \notin y)) .

$\forall y(y = \emptyset \leftrightarrow \forall z(z \notin y)).$

Así obtenemos el lenguaje $\mathcal{L}_{\in}[\emptyset]$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo traducir una fórmula simple de $\mathcal{L}_{\in}[\emptyset]$ , como $\exists x(\emptyset \in x)$ , en una fórmula de $\mathcal{L}_{\in}$ . Este es mi intento:

\begin{aligned} \exists X (\emptyset \in X) & \leftrightarrow \exists X \exists y (y = \emptyset \land y \in X) \\ \leftrightarrow \exists X \exists y (\forall z (z \notin y) \land y \in X) . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \exists y(y = \emptyset \land y \in x) \\ & \leftrightarrow \exists x \exists y(\forall z(z \notin y) \land y \in x). \end{align*}$

¿Estoy en lo correcto?

Respuestas (2)

noah schweber

Sí, eso es correcto.

También se podría usar un cuantificador universal (asumiendo que estamos trabajando sobre una teoría de fondo lo suficientemente fuerte como para probar que hay exactamente un conjunto sin elementos, lo cual deberíamos hacer si estamos introduciendo el " $\emptyset$ "símbolo en primer lugar) :

\exists X \forall y [\forall z (z \notin y) \to y \in X] .

$\exists x\forall y[\forall z(z\not\in y)\rightarrow y\in x].$

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Este es un concepto conocido como "extensión de definición". Para introducir un símbolo constante

k

$k$ y el axioma

P (k)

$P(k)$ usando una extensión de definición, uno debe ser capaz de probar

\exists! x P (x)

$\exists! x P(x)$ . Una fórmula

Q

$Q$ en la extensión de la definición se traduce a

\exists x (P (x) \land Q [k \mapsto x])

$\exists x (P(x) \land Q[k \mapsto x])$ dónde

Q [k \mapsto x]

$Q[k \mapsto x]$ es la fórmula que resulta de reemplazar todas las ocurrencias de

k

$k$ con

x

$x$ , o lógicamente equivalente a

\forall x (P (x) ⟹ Q [k \mapsto x])

$\forall x (P(x) \implies Q[k \mapsto x])$ .

mohottnad

Algunos autores pueden preferir la versión existencial para $\emptyset$ , véase el capítulo 2 de este lenguaje de Teoría de Conjuntos $\mathcal{L}_{\in}$ . Luego, usan el símbolo libremente como otra constante en FOL; de lo contrario, como ha experimentado, no es expresivo y tuvo que usar 3 cuantificadores mixtos sin importar la ruta técnica para expresar su declaración de que el conjunto vacío (único) es un miembro de cualquier conjunto. La idea clave para una sintaxis expresiva es aprovechar términos constantes y de función en lugar de relaciones, si es posible.

Dejamos x = $\emptyset$ abreviar ¬∃y(y $\in$ X)

Esto es exactamente equivalente de primer orden con su formulación según DeMorgan

sea y = $\emptyset$ abreviar $\forall z(z \notin y)$

Tenga en cuenta que hay un error sutil que nadie le ha señalado hasta ahora con respecto a su paso anterior que los nuevos estudiantes de lógica suelen cometer

$\begin{aligned} \exists X (\emptyset \in X) & \leftrightarrow \exists X \exists y (y = \emptyset \land y \in X) \end{aligned}$ $\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \exists y(y = \emptyset \land y \in x) \\ \end{align*}$

tenga en cuenta $\exists x(P(x) \land Q(x))$ es completamente diferente de $\forall x(P(x) \rightarrow Q(x))$ semánticamente Obviamente, aquí desea expresar que cada conjunto que es un conjunto vacío debe ser miembro de algún conjunto $x$ , por lo que debe proceder como:

\begin{aligned} \exists X (\emptyset \in X) & \leftrightarrow \exists X \forall y (y = \emptyset \to y \in X) (1) \end{aligned}

$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y(y = \emptyset \rightarrow y \in x) ~~(1)\\ \end{align*}$

Luego sustituya su definición relacional, llegamos al mismo resultado que su respuesta previamente aceptada:

\begin{aligned} \exists X (\emptyset \in X) & \leftrightarrow \exists X \forall y (\forall z (z \notin y) \to y \in X) (2) \end{aligned}

$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y(\forall z(z \notin y) \rightarrow y \in x) ~~(2)\\ \end{align*}$

Pero es mejor que llegue a una forma normal prenex (PNF) de la siguiente manera y tenga en cuenta que el tipo final de cuantificador cambió (consulte la referencia de PNF):

\begin{aligned} \exists X (\emptyset \in X) & \leftrightarrow \exists X \forall y \exists z (z \notin y \to y \in X) (3) \end{aligned}

$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y \exists z(z \notin y \rightarrow y \in x) ~~(3)\\ \end{align*}$

O de manera equivalente, puede comenzar desde el paso (2) anterior a través del reemplazo condicional para llegar a:

\begin{aligned} \exists X (\emptyset \in X) & \leftrightarrow \exists X \forall y [\neg \forall z (z \notin y) \lor y \in X] \end{aligned}

$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y [\lnot \forall z(z \notin y) \lor y \in x] \\ \end{align*}$

Las reglas de cuantificación de DeMorgan y nulo por cuantificado pueden llegar a otra forma normal prenex:

\begin{aligned} \exists X (\emptyset \in X) & \leftrightarrow \exists X \forall y \exists z (z \in y \lor y \in X) (4) \end{aligned}

$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y \exists z(z \in y \lor y \in x) ~~(4)\\ \end{align*}$

¿Es esta una traducción adecuada de ∃x(∅∈x)∃x(∅∈x)\exists x(\emptyset \in x) en L∈L∈\mathcal{L}_{\in}?

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