¿Existen cantidades físicas cuyas unidades se definan usando raíces n-ésimas, logaritmos, senos, etc. de unidades SI?

Hay unas pocas cantidades físicamente significativas cuyas unidades incluyen un exponente de medio entero, generalmente en ejemplos en los que la cantidad en cuestión debe cuadrar con algún tipo de intensidad o densidad.

• La más clara son las funciones de onda de la mecánica cuántica.$\psi$, para el cual el módulo cuadrado$|\psi|^2$es una densidad de probabilidad (es decir, con unidades de longitud inversa en 1D o volumen inverso en 3D), por lo que tendrá$[\psi(x)]=[L^{-1/2}]$en 1D y$[\psi(\mathbf r)]=[L^{-3/2}]$en 3D

• Muy a menudo ves la unidad$\mathrm{Hz}^{-1/2}$en cualquier campo que requiera análisis de señales en cualquier capacidad, donde surge naturalmente como una forma de describir densidades espectrales de amplitud de muchos tipos. Esto pasa cuando tienes algo de señal$f(t)$(en, digamos, tensión adimensional) y te importa su transformada de Fourier, es decir, quieres representar$f(t) = \int_{-\infty}^\infty \tilde f(\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega$de una manera que$\int_{\omega_1}^{\omega_2} |\tilde f(\omega)|^2 \mathrm d\omega$representa la potencia que lleva la señal en esa banda espectral.

  Un buen ejemplo reciente de esto en acción son las curvas de sensibilidad al ruido para LIGO y otros detectores de ondas gravitacionales en función de la frecuencia:

  

  ^{Fuente de imagen}

Si desea ir más allá de las potencias semienteras a las$n$En resumen, entonces, en principio, no hay nada que lo detenga, pero las posibilidades de encontrar ejemplos físicamente significativos disminuyen drásticamente, porque la física tiende a usar formas cuadráticas de sus variables dinámicas con mucha más frecuencia de lo que ve dependencias cúbicas u otras multilineales . No conozco ningún ejemplo del mundo real, pero son perfectamente posibles.

Sin embargo, las cosas cambian si se aleja de las funciones racionales (es decir, combinaciones de potencias fraccionarias) y pasa a las funciones trascendentales (como las funciones exponencial, logarítmica y trigonométrica), que solo se pueden definir de manera significativa mediante procesos que suman o comparan una cantidad.$x$con un poder$x^n$de esa misma cantidad. Como expliqué en este hilo anterior , esto rompe completamente el análisis dimensional, y no tiene sentido poner cantidades dimensionales como argumentos de funciones trascendentales.

(Hay una pequeña excepción parcial con el caso específico del logaritmo, donde puede "dividir" un logaritmo de la forma$\log(q_1/q_2)$en una resta$\log(q_1)-\log(q_2)$bajo el estricto requisito de que todas las apariencias de$\log(q)$ir seguido de un correspondiente${-}\log(q')$con$[q']=[q]$, y que ambas ocurrencias toman el logaritmo del valor numérico en las mismas unidades. Esto es útil si solo le importan las cosas hasta una constante aditiva (o multiplicativa), pero en última instancia se reduce a un elaborado formalismo para tratar con$\log(q_1/q_2)$, es decir, el logaritmo de una cantidad adimensional, de una manera que le permite olvidar ese hecho).

Editar: la respuesta a continuación es ciertamente sospechosa. Lea los comentarios debajo y siga el enlace proporcionado por dmckee.

No tiene sentido considerar la función seno, logaritmo o exponencial de una unidad o cualquier cosa con unidades. Una forma de ver esto es notar que todas estas funciones se pueden expandir como series de Taylor. Por ejemplo,

Normalmente no tiene sentido poner nada más que una entrada sin unidades en una función trascendental. Sin embargo, como se discutió en esta pregunta , tiene sentido tomar registros de cantidades que tienen unidades. El resultado es que obtienes una constante aditiva que dependería de la elección de las unidades, y esta constante a menudo no tiene interés. El ejemplo clásico sería usar la pendiente de una gráfica logarítmica para encontrar el exponente en una ley de potencia. Sin embargo, las unidades de la entrada no se pasan a la salida. Entonces, por ejemplo, si tomas la base logarítmica 10 de 100 kg, obtienes 2 más una constante, pero el 2 no tiene unidades de logaritmo de kilogramos. La elección de kilogramos está presente en la constante aditiva. Por lo tanto, no existe tal cosa como una unidad de "log-kilogramos".

Las raíces se usan en unidades todo el tiempo. Por ejemplo, enseño un laboratorio en el que lanzamos pelotas desde alturas desiguales.$h_1$y$h_2$y medir el tiempo entre los dos golpes para medir$g$con bastante buena precisión. La expresión para$g$implica la cantidad$\sqrt{h_1}-\sqrt{h_2}$.