¿Cuál es el Lagrangiano del que se deriva la ecuación de Klein-Gordon en QFT?

  1. ¿Hay algún lagrangiano conocido que, escribiendo la ecuación de movimiento correspondiente, dé la ecuación de Klein-Gordon en QFT? Si es así, ¿qué es?

  2. ¿Qué es el momento canónico conjugado? Obtengo el mismo resultado que en dos fuentes por separado, pero con signo contrario, y empiezo a sospechar que el error puede estar en el lagrangiano del que parto.

  3. ¿Hay alguna diferencia en las respuestas a estas dos preguntas si elige ( + − − − ) o ( − + + + ) ? ¿Si es así, Cuál?

Respuestas (1)

  1. Sí. El campo escalar estándar con el que comienzan todos los libros de QFT (p. ej., Peskin & Schroeder, Zee) produce la ecuación KG. Por eso también se le llama campo de Klein-Gordon. El Lagrangiano (densidad) es

    L = 1 2 ∂ m ϕ ∂ m ϕ − 1 2 metro 2 ϕ 2 .
    Aquí la métrica es ( + − − − ) .

  2. por definición es π = ∂ L ∂ ( ∂ 0 ϕ ) . Esto da π = ∂ 0 ϕ .

  3. Es pura convención, no hay elección correcta. La única diferencia en el uso de una métrica diferente estará en cómo escribimos las cosas: cualquier cantidad que implique una contracción con la métrica. η m v cambiará por un signo menos. Por ejemplo, en el Lagrangiano, usando la métrica (- + + +), el primer término se cambia a − 1 2 ∂ m ϕ ∂ m ϕ . Pero esto sigue siendo igual a 1 2 ( ∂ t 2 ϕ − ∇ 2 ϕ ) independientemente de la métrica que utilicemos.

Muchas gracias por tu respuesta, me ha puesto en el camino correcto. Las ecuaciones (1.14) y (1.15) en el preprint de Srednicki tienen la clave para el cambio de signo de la pregunta 2. Lo encontré gracias a tus indicaciones.
La respuesta anterior no me queda clara. El lagrangiano anterior es (1) 1/2 (ħ ∂μφ) (ħ ∂νφ) g^μν – 1/2 m^2 φ^2 Si cambia el signo de la métrica, el primer término cambia de signo y el segundo término no cambia. Para obtener el mismo Lagrangiano, el signo del primer o segundo término debe cambiar. ¿No?
@rjpetti: Parece que tienes razón. Pero creo que no debemos esperar ninguna respuesta del respondedor "nervxxx" ya que siento que está inactivo (no hay respuestas recientes, preguntas, comentarios, etc.).
...lo mismo vale para el OP "Eduardo Guerras Valera"...
La afirmación del que responde de que el término ∂ m ϕ ∂ m ϕ es lo mismo para cualquier convención de signos es incorrecta. Más exactamente
∂ m ϕ ∂ m ϕ = { + ∂ 2 ϕ / C 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ  para  ( + , − , − , − ) − ∂ 2 ϕ / C 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ϕ  para  ( − , + , + , + ) }
Entonces tenemos dos densidades lagrangianas
{ L 1 ( ϕ , ∂ m ϕ ) = 1 2 ( ∂ 2 ϕ / C ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ ) − 1 2 metro 2 ϕ 2  para  ( + , − , − , − ) L 2 ( ϕ , ∂ m ϕ ) = 1 2 ( ∇ 2 ϕ − ∂ 2 ϕ / C ∂ t 2 ) − 1 2 metro 2 ϕ 2  para  ( − , + , + , + ) }
@Frobenius mucho ruido y pocas nueces. La respuesta original de hace 8 años ya dice: al cambiar las convenciones métricas, "cualquier cantidad que implique una contracción con la métrica η m v cambiará por un signo menos". En particular, si cambia su convención de la métrica a (-+++), entonces el primer término en L escrito en mi respuesta se cambia a − 1 2 ∂ m ϕ ∂ m ϕ , que si se expande es igual a 1 2 ( ∂ t 2 ϕ − ∇ 2 ϕ ) , idéntico al caso con métrica (+---). ¿Falla la comprensión lectora?
@nervxxx: No estoy de acuerdo contigo. Los dos lagrangianos L 1 y L 2 producen la misma ecuación de movimiento, que es la ecuación de Klein-Gordon. Esto se debe al hecho de que difieren en 4 divergencias.
@Frobenius Consulte la respuesta aceptada de physics.stackexchange.com/questions/589964/… ¿Supongo que tampoco estaría de acuerdo?
@Frobenius en realidad, si investiga un poco, stackexchange tiene toneladas de publicaciones sobre este problema de letreros. Aquí hay uno ( physics.stackexchange.com/questions/100557/… ) donde si usa su Lagrangiano L 2 , ocurren inconsistencias donde el espectro se vuelve acotado desde arriba, la relación energía-momento relativista es incorrecta, etc.
@nervxxx: Ten paciencia. Voy a publicar una respuesta en unos días. Si durante la elaboración de esta respuesta encuentro que estoy equivocado, estaré de acuerdo con usted. En resumen, no me gustan los signos de más/menos en el Lagrangiano y en la ecuación de movimiento en la respuesta de la mecánica Q vinculada. Las cosas funcionan automáticamente con la notación de cálculo tensorial. El signo opuesto en el Lagrangiano sobre el cambio de firma se compensa con un signo cambiante en el primer término de la ecuación de Euler-Lagrange que luego produce la ecuación de Klein-Gordon.
@nervxxx: Tienes razón. Al elaborar una respuesta me di cuenta de que era un error mío pensar que el signo opuesto en el primer ítem del Lagrangiano sobre el cambio de firma se compensa con un signo cambiante en el primer término de la ecuación de Euler-Lagrange. Para retractarme de mi voto negativo en su respuesta, hice una pseudoedición en su respuesta.
Prefiero que mis comentarios sean como son para recordar mis faltas (de las que también aprendo mucho).
El lagrangiano es invariante hasta un escalar general, por lo que el problema de que el espectro está acotado o ilimitado cuando permite términos de energía cinética negativos siempre se puede evitar mediante una redefinición trivial, el problema de no satisfacer la relación energía-momento relativista es el hecho no trivial que fija el signo global de los términos cinéticos con respecto a los términos potenciales para cada elección de métrica.
¿Cuál es el Lagrangiano del que se deriva la ecuación de Klein-Gordon en QFT?
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