¿Cuál es el corrimiento al rojo de una señal de retorno en un universo plano entre dos observadores?

Estoy tratando de determinar el desplazamiento al rojo observado para una señal de luz entre 2 observadores (llamémoslos observadores uno y dos) en un universo dominado por materia plana. El observador uno envía una señal ($t_1$) a la velocidad de la luz al observador 2 y lo registra como z de 5 ($t_2$). El observador dos luego envía una señal directamente de vuelta. ¿A qué corrimiento al rojo el observador ve esta señal entrante ($t_3$)?

Sabemos que el factor de escala para un universo dominado por materia es el siguiente:

$$\frac{a}{a_0}=\frac{{t^{2/3}}}{t_0}$$

y$a_0$y$t_0$son$1$por el momento

Además, la coordenada de comovimiento permanecerá igual para ambos intervalos de tiempo por definición y se puede describir de la siguiente manera:

$$r=c\int\frac{dt}{a(t)}$$

Usando la relación entre el factor de escala y z, podemos encontrar la siguiente relación:

$$a(t_2) = 6\cdot a(t_1)$$

Describa las coordenadas comomóviles para los intervalos de tiempo y hágalos iguales entre sí:

$$\int_{t_1}^{t_2}\frac{dt}{{t}^{\frac{2}{3}}} = \int_{t_2}^{t_3}\frac{dt}{{t}^{\frac{2}{3}}}$$

Después de la integración, sustituya la relación encontrada arriba en términos de t para obtener la relación entre$t_1$y$t_3$:

$$t_2 = 6^{\frac{3}{2}}\cdot t_1$$ ...Llegar: $$2(14.7\cdot t_1)^{1/3}-t_1^{1/3} = t_3^{1/3}$$

Por último, ahora que tenemos una relación entre la señal inicial emitida ($t_1$) y la señal final recibida ($t_3$), podemos determinar$z$:

$$\frac{a(t_3)}{a(t_1)}=1+z=\frac{t_3^{\frac{2}{3}}}{\left [ \frac{t_3}{59} \right ]} \therefore z\approx 14$$

Arriba está el trabajo que hice, pero no estoy seguro de que mi respuesta sea correcta, aunque no veo nada malo en lo que hice. Espero que el corrimiento al rojo sea mayor, lo cual es consistente con el corrimiento al rojo calculado, pero no tengo una intuición mucho mayor que esto. Quizás haya una forma más elegante de resolverlo. Agradecería si alguien pudiera informarme si la solución parece sólida.

Gracias