Conversión entre distancias extragalácticas

Necesitas resolver este problema

$$H(a) = \frac{\dot{a}}{a} \tag{1}$$

dónde$a = 1 / (1 + z)$es el factor de escala,$H$es el parámetro de Hubble y sigue la ecuación de Friedmann

$$\left(\frac{H(z)}{H_0}\right)^2 = \Omega_{m,0}(1 + z)^{3} + \Omega_{\Lambda,0} + \Omega_{\gamma,0}(1 + z)^{4} = E(z) \tag{2}$$

y he asumido que la curvatura es plana. Reemplazando (2) en (1) obtienes

$$t = \int_{1 / (1 + z)}^{1}\frac{{\rm d}a}{aH(a)} = \frac{1}{H_0}\int_{1 / (1 + z)}^{1}\frac{{\rm d}a}{aE^{1/2}(a)}$$

En este caso$t$es la edad del universo en ese corrimiento al rojo en particular. Hay muchas herramientas en línea que te permiten calcular este número si conoces la cosmología.$(\Omega_{m,0}, \Omega_{\Lambda}, \cdots)$

caverac responde de manera excelente cuánto tiempo un fotón que se emitió desde una galaxia se observó en corrimiento al rojo$z$ha estado viajando, es decir, hasta dónde miramos hacia el pasado. Y esto está muy relacionado con la distancia a ese objeto (que es lo que pides).

En cosmología, se utilizan varias medidas de distancia . Supongo que lo que le interesa es la distancia actual al objeto dado, digamos una galaxia, en redshift$z$. Es decir, si congelamos el Universo en el tiempo ahora mismo y colocamos las varas de medir desde aquí hasta esa galaxia, ¿qué tan lejos estaría (otras distancias incluyen la distancia cuando se emitió la luz y la distancia que satisface la ley del inverso del cuadrado ).

Esta distancia (que hoy es igual a la llamada "distancia en movimiento") no es simplemente igual a la velocidad de la luz$c$veces el tiempo$t$tomó llegar aquí (que se da en la respuesta de caverac). La razón es que durante el viaje del fotón, el Universo se ha expandido. Para obtener la distancia correcta, debe integrar sobre la expansión:

$$d(z) = \frac{c}{H_0} \int_0^z \frac{dz'}{E(z')},$$ dónde$H_0$es la constante de Hubble y$E(z)$(definido en la respuesta de caverac) es una función del corrimiento al rojo y las densidades de los componentes del Universo (materia, energía oscura, radiación).

Por ejemplo, para$z=1$,$d=3.4\,\mathrm{Gpc} =$11 mil millones de años luz.

Por lo tanto, calcular la distancia no es sencillo, pero puede usar calculadoras en línea como la que se menciona en la respuesta de caverac o, si conoce Python, puede usar lo siguiente$^\dagger$(suponiendo una radiación despreciable en un Universo plano):

from astropy.cosmology import Planck15
from astropy import units as u
z = 1
d = Planck15.comoving_distance(z)
print('Distance in million lightyears:', d.to(u.Mlyr))

O puede referirse a esta figura que hice, usando el código anterior:

---

$^\dagger$_{Este fragmento de código utiliza el popular paquete de astronomía astropy , que se puede instalar con pip install astropy.}

Las cosas pueden ser un poco más sutiles de lo que parecen a primera vista, debido a los muchos tipos de distancias que uno puede definir en cosmología.

La distancia de tiempo de viaje de la luz , que es básicamente$c(t_0-t_e)$dónde$t_0$es el tiempo presente y$t_e$el momento en que se emitió la luz percibida actualmente desde este objeto. Desde$H = \frac{1}{a}\frac{da}{dt}$:

$$\begin{equation} d_{\Delta t} = c\int_{t_e}^{t_0} dt = c\int_{1/(1+z)}^{1} \dfrac{da}{a H(a)} \end{equation}$$

Esta distancia no es directamente accesible experimentalmente. Se puede calcular a partir del corrimiento al rojo, que se mide fácilmente, siempre que conozca la cosmología , es decir, la relación entre la tasa de expansión$H$y el factor de escala$a$. Esto depende enteramente del contenido del universo.

La distancia de comovimiento , que se puede definir como la distancia física en el momento actual entre dos puntos inmóviles en el flujo de Hubble, viene dada por:

$$\begin{equation} \chi = c\int_{t_e}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)} = c\int_{1/(1+z)}^{1} \dfrac{da}{a^2 H(a)} \end{equation}$$ Esta distancia también tiene un significado muy fuerte -es constante por definición-, pero no uno que facilite su medición directa.

Otro tipo de distancia es la distancia de luminosidad . Se define como la distancia$d_L$tal que el flujo recibido de una fuente de luz de potencia$P$sigue la ley del inverso del cuadrado:

$$\begin{equation} F = \dfrac{P}{4\pi d_L^2} \end{equation}$$ Esta distancia explica los efectos de la dilución de la energía que sigue a la expansión del frente de onda, así como la "pérdida de energía" debida al desplazamiento hacia el rojo. Para una geometría plana, esta distancia es: $$\begin{equation} d_L = (1+z) \chi \end{equation}$$ Esta distancia se puede medir si $P$es conocida.

Se pueden definir otras distancias, que son más útiles según el contexto. Para los objetos cercanos, todos tienden a$\sim cz/H_0$.