Energía cinética de un resorte masivo

Supongamos que tuviéramos un sistema resorte-masa en el que no se asume que el resorte no tiene masa (tiene masa$M$) y tiene una longitud$L$. Un extremo del resorte se mantiene fijo y supongo que el otro extremo se deja oscilar libremente. Aquí, se me dice que se supone que el resorte es uniforme y se estira uniformemente. Si quiero encontrar la energía cinética del resorte, tenemos que establecer una expresión para ello

$$dT_{\text{spring}} = \frac{1}{2}u^{2} dm$$

dónde$dT_{\text{spring}}$es la energía cinética de una parte infinitesimal$dm$en algún lugar a lo largo de la primavera y$u$es su velocidad correspondiente. Como el resorte es uniforme, puedo encontrar su densidad de masa

$$\lambda = \frac{dm}{dx} \longrightarrow dm = \lambda dx = \frac{M}{L}dx$$

de modo que

$$dT_{\text{spring}} = \frac{1}{2}u^{2}\frac{M}{L}dx$$

El único paso que no entiendo es cómo$u= \frac{x}{L}v$, dónde$v$es, creo, la velocidad de algún punto que ha sido desplazado por el estiramiento del resorte (corríjame aquí si me equivoco). ¿Por qué la velocidad de una pieza$dm$linealmente proporcional a$v$y cómo puedo derivar esa expresión matemáticamente, es decir, si$u = \alpha v$, Cómo puedo encontrar$\alpha$¿y por qué? Algo no se registra en mi cabeza y siento que tiene que ver con el hecho de que se supone que el resorte es uniforme. Eso entonces plantea la pregunta: ¿y si no fuera así? ¿Qué haría yo en ese caso?