Conteo de grados de libertad para ondas gravitacionales como un campo de calibre

En primer lugar, Sean Carroll es un relativista, por lo que su tratamiento de la simetría del difeomorfismo como una simetría de calibre debe ser aplaudido porque es la visión moderna estándar preferida por los físicos de partículas: su origen está relacionado con nombres como Steven Weinberg, es promovido por físicos. como Nima Arkani-Hamed, y naturalmente incorporado en la teoría de cuerdas tan visto como "obvio" por todos los teóricos de cuerdas. En este sentido, Carroll desecha la "cultura" obsoleta de los relativistas. Hay algunos otros "relativistas" que se quejan irracionalmente de que no debería permitirse llamar al tensor métrico "simplemente otro campo de calibre" y al grupo de difeomorfismo como "solo otra simetría de calibre", aunque esto es exactamente lo que son estos conceptos.

En segundo lugar, una simetría expresada por un álgebra de Lie no puede ser "discreta", por definición: es continua. Los grupos de mentira son grupos continuos; es su definición. Y solo los grupos continuos pueden hacer que las polarizaciones completas de partículas no sean físicas. Es plausible que un libro popular reemplace los grupos continuos por otros discretos que son más fáciles de imaginar para los profanos, pero este servidor no se supone que sea "popular" en este sentido.

Tercero, cuando dices que si$U$es unitario, el generador tiene que ser hermitiano y sin trazas, es en parte erroneo. Unitaridad de$U$significa la hermiticidad de los generadores$T^a$pero la falta de rastro de estos generadores es una condición diferente, a saber, la propiedad de que$U$es "especial" (que tiene el determinante igual a uno). La falta de rastro es lo que reduce$U(N)$a$SU(N)$, unitario a unitario especial.

Cuarto, y está relacionado con el segundo punto anterior, la "conjugación de carga" no es ningún principio de calibre del electromagnetismo de ninguna manera. El electromagnetismo se basa en la continua$U(1)$grupo calibre. Este grupo tiene un automorfismo externo: un grupo de automorfismos es${\mathbb Z}_2$– pero nunca pondremos estos elementos del grupo discreto en un exponente.

Quinto, de manera similar, QCD no se basa en la simetría discreta de las permutaciones de los colores sino en la continua$SU(3)$grupo de transformaciones unitarias especiales del espacio tridimensional de colores. Debido a que ninguna de las cosas que escribió sobre el caso no gravitatorio fue del todo correcta, no debería sorprender que tenga que encontrar muchas contradicciones aparentes también en el caso de la gravedad porque la gravedad es de hecho más difícil en algún sentido.

Sexto,$SO(3,1)$no está relacionado con el difeomorfismo de ninguna manera directa. Seguro que no es lo mismo. Este grupo es el grupo de Lorentz y en el GR, puede elegir un formalismo basado en tétradas/vielbeins/vierbeins donde se convierte en una simetría local porque la orientación de la tétrada puede rotar por una transformación de Lorentz independientemente en cada punto del espacio. Pero esto es solo una simetría de calibre adicional que uno debe agregar si trabaja con tétradas: es una simetría que existe en la parte superiorde la simetría del difeomorfismo y esta simetría es diferente y "no local" porque cambia las coordenadas del espacio-tiempo de los objetos o campos mientras que todas las simetrías de Yang-Mills anteriores e incluso el grupo local de Lorentz al comienzo de este párrafo están actuando localmente, dentro el espacio de campo asociado con un punto fijo del espacio-tiempo. (El hecho de que los difeomorfismos de ninguna manera se "reduzcan" al grupo local de Lorentz es una idea rudimentaria que es malinterpretada por todas las personas que hablan de la "unificación gravidébil" y proyectos físicamente defectuosos similares). No lo usaré con tétradas en el siguiente párrafo, por lo que la simetría de calibre será solo difeomorfismos y no habrá ningún grupo de Lorentz local como parte de la simetría de calibre.

La simetría del difeomorfismo es generada localmente por las traslaciones, no por las transformaciones de Lorentz, y los parámetros de estas 4 traslaciones dependen de la posición en el espacio-tiempo de 4 dimensiones. Así es como se puede escribir un difeomorfismo infinitesimal general. Si no hubiera simetrías de calibre,$g_{\mu\nu}$tendría 10 grados de libertad fuera del caparazón, como 10 campos escalares. Sin embargo, cada generador hace que dos polarizaciones no sean físicas, como en el caso de QED o QCD anterior (donde las 4 polarizaciones de un vector se redujeron a 2; en QCD, todos estos números se multiplicaron por 8, la dimensión de la representación adjunta del grupo de calibre,$SU(3)$etc.). Debido a que la traducción general por punto tiene 4 parámetros, uno elimina$2\times 4 = 8$polarizaciones y se queda con$10-8=2$polarizaciones físicas de la onda gravitacional (o gravitón). Las bases habituales elegidas en este espacio físico bidimensional son una onda polarizada circular derecha más una circular izquierda; o las polarizaciones "lineales" que estiran y encogen el espacio en la dirección horizontal/vertical más la onda que hace lo mismo en direcciones giradas 45 grados:

Este conteo fue en realidad un poco engañoso, pero funciona en la dimensión general. Para hacer el conteo de manera adecuada y controlable, uno tiene que distinguir las restricciones de las ecuaciones dinámicas y ver cuántos de los modos de una onda plana (onda gravitacional) se ven afectados por un difeomorfismo. En la dimensión general de$d$, se puede ver que el tensor$\Delta g_{\mu\nu}$puede ser descrita, después de hacer el difeomorfismo correcto, por$h_{ij}$en$d-2$dimensiones y además la traza$h_{ii}$se puede poner a cero. esto nos da$(d-2)(d-1)/2-1$Polarizaciones físicas del gravitón. En$d=4$, esto produce 2 polarizaciones físicas del gravitón. Una onda gravitacional que se mueve en la tercera dirección se describe mediante$h_{11}=-h_{22}$y$h_{12}=h_{21}$mientras que otros componentes de$h_{\mu\nu}$se pueden hacer desaparecer por una transformación de calibre (difeomorfismo), o se requiere que desaparezcan por las ecuaciones de movimiento o las restricciones vinculadas al mismo difeomorfismo. Moralmente hablando, es cierto que eliminamos dos grupos de 4 grados de libertad, como indiqué en el cálculo chapucero que resultó llevar al resultado correcto. Tenga en cuenta que

$$\frac{d(d+1)}2 -2d = \frac{(d-2)(d-1)}2-1$$ Debo enfatizar que este es un conteo estándar de la "gravedad linealizada" y es el mismo procedimiento para contar como el conteo de polarizaciones físicas después del difeomorfismo "simetría de calibre": solo el lenguaje que involucra "simetrías de calibre" es más física de partículas. -orientado.

Para responder directamente a su pregunta sobre la gravedad como teoría de calibre, la gravedad de calibre afín a la métrica ayuda a aclarar el papel del tensor métrico en relación con la simetría de calibre. La gravedad afín a la métrica es una teoría de la elasticidad relativista, que motiva difeomorfismos lineales, ya que los medios elásticos son fluidos con pequeños desplazamientos. El grupo de calibre$GL(4,\mathbb{R})$se relaciona con los difeomorfismos lineales. El grupo lineal afín$AL(4,\mathbb{R})$añade simetría traslacional al grupo lineal general.

Trautman de 1979 a 1980 articuló cómo el tensor métrico es un tipo de campo de Higgs; Tomboulis también ha señalado este punto y articuló cómo la métrica se relaciona con romper con$GL(4,\mathbb{R})$al grupo Lorentz$SO(3,1)$. Hay diferentes formulaciones de la gravedad manométrica, pero la de Niederle e Ivanov de 1981 y 1982 es buena, ya que presenta una variedad global.$M^4$con un grupo de calibre local$G$.$G$debe contener mínimamente el grupo de Lorentz o Poincaré, mientras que también se estudió el grupo conforme. Al mirar el grupo lineal afín$G = AL(4,\mathbb{R})$, a continuación podemos revisar los potenciales gravitacionales de calibre de la gravedad afín a la métrica.

El grupo de Lorentz se relaciona con la conexión de espín de 1 forma:

$\omega = \omega^{ab} J_{ab} = \omega_\mu^{ab}J_{ab} dx^\mu$.

Las traducciones se relacionan con el campo de marco 1-forma:

$e = e^a P_a = e_\mu^a P_a dx^\mu$.

Los grados de libertad sobrantes son el grupo lineal afín modificado por el grupo de Poincaré, que también es$\frac{GL(4,\mathbb{R})}{SO(3,1)}$. Ya que$GL(4,\mathbb{R})$tiene 16 grados de libertad y$SO(3,1)$tiene 6, este espacio cociente tiene 10 grados de libertad. Como era de esperar, esto corresponde precisamente a la forma métrica 0 como un escalar global con respecto a$M^4$:

$g = g_{ab}M^{(ab)}$,

dónde$M_{ab}$son los generadores de$GL(4,\mathbb{R})$y$J_{ab} = M_{[ab]}$, tal que los 10 generadores simétricos$M_{(ab)}$corresponden a la métrica inversa. La relatividad general no es una teoría de calibre, por lo que la relatividad general linealizada tampoco es una teoría de calibre. Medir verdaderamente los difeomorfismos conduciría a un número infinito de intensidades de campo gravitatorio de calibre, en las que no he visto ningún trabajo. Ciertamente, Carroll no discute esto, ya que establece la torsión y la no metricidad en cero, lo cual está contenido en la gravedad afín a la métrica.

Técnicamente,$g_{ab}$es un escalar global con respecto a$M^4$, ya que sus índices están asociados a$G$. Sin embargo, se sabe que el gravitón de giro 2 se recupera de la métrica local con los campos de marco, lo que conduce a:

$g_{\mu\nu} = e_\mu^a e_\nu^b g_{ab}$.

Los teóricos de cuerdas nunca han considerado la gravedad afín a la supermétrica, pero se puede formular y no viola la fórmula de Coleman-Mandula, tan no métrica como la intensidad de campo de$g_{ab}$es un tipo de simetría gravitatoria interna. Dado que la métrica spin-2$g_{\mu\nu}$ahora se refiere a índices asociados a la variedad$M^4$, esto corresponde a la métrica en relatividad general. La ecuación anterior aclara por qué muchos afirman que las traducciones se relacionan con los difeomorfismos, ya que a menudo solo consideran una formulación afín. Técnicamente, una formulación afín de la gravedad manométrica no tiene grados de libertad manométricos para la métrica. La supergravedad a menudo se refiere a la métrica y al campo de marco de manera intercambiable. Es común establecer$g_{ab} = \eta_{ab}$como una métrica local de Minkowski. Además, la mayoría de la gente supone un postulado de tétrada$\nabla_\mu e_\nu^a=0$, que es diferente a afirmar que la nometricidad se desvanece.

En conclusión, considerando$\frac{GL(4,\mathbb{R})}{SO(3,1)}$establece rigurosamente por qué el tensor métrico tiene 10 grados de libertad desde la perspectiva de la gravedad manométrica. Coincidentemente, el grupo de Poincaré tiene 10 grados de libertad, pero esos realmente se refieren a la conexión de espín y al campo del marco. Preguntando por el origen teórico de gauge de$g_{\mu\nu}$es técnicamente ambiguo, ya que existen diferentes formulaciones de la gravedad manométrica. La gravedad de calibre afín a la métrica se ha estudiado cada vez más recientemente, pero la mayoría se centra en los índices de coordenadas múltiples globales, en lugar de los índices de calibre locales. Es posible no considerar$M^4 \times G$, pero creo que esto ayuda a clarificar hasta que la comunidad de físicos esté lista para establecer la gravedad de medida midiendo el grupo de difeomorfismo de dimensión infinita.