Construyendo el mesón octeto y singlete

1. el grupo de la mentira $G$detrás del mesón octeto está el$SU(3)_{\rm Flavor}$Acuéstese en grupo sobre los tres sabores de quark más ligeros$u$,$d$, y$s$. Más precisamente, lo fundamental$SU(3)$representación

   $$V~=~\text{Fund} ~=~{\bf 3}$$ es un tramo lineal de la$u$,$d$, y$s$quarks. Los tres coeficientes complejos se recogen en un$3\times 1$columna de vectores$v\in V$.

2. Cómo hace el$G=SU(3)_{\rm Flavor}$guiarse por$V$? Actúa desde la izquierda multiplicando$v\in V$con un$3\times3$matriz de grupo unitario especial$g\in G$, lo que da como resultado un nuevo vector de columna$v'=gv\in V$. Similarmente,$G$actúa sobre la representación conjugada compleja$\bar{V}$como$\bar{v}'=\bar{g}\,\bar{v}$. En particular, si escribimos$\bar{v}$como un$1\times 3$vector fila$v^{\dagger}$, el grupo actúa como$v^{\dagger \prime}=v^{\dagger}g^{\dagger}=v^{\dagger}g^{-1}$.

3. La teoría de la representación del grupo de mentiras explica cómo el mesón noneto se descompone en irreps,

   $$\begin{align} {\bf 3} \otimes \overline{\bf 3}~=~&V \otimes \bar{V}\cr ~=~&\text{Fund} \otimes \overline{\text{Fund}}\cr ~\cong~& \text{Adj}\oplus \text{Sing}\cr ~=~& {\bf 8}\oplus {\bf 1}. \end{align}$$

4. Podemos identificar

   $$\begin{align}V \otimes \bar{V}~\cong~&V \otimes V^\dagger\cr ~\cong~&{\rm Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{C}).\end{align}\tag{*}$$ Darse cuenta de$G$actúa en ambos espacios$V \otimes V^\dagger$y${\rm Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{C})$por transformaciones de semejanza .

5. El$SU(3)$singlete es el mesón eta primo

   $$\eta'~=~\frac{u\otimes \bar{u}+ d\otimes \bar{d}+ s\otimes \bar{s}}{\sqrt{3}}.$$ Bajo la identificación (*), el$\eta'$corresponde a un$3 \times 3$matriz proporcional a la${\bf1}_{3 \times 3}$matriz unitaria. ¿Cómo sabemos que este es el singlete de sabor único? Por un lado, el singlete se caracteriza por ser invariante ante la acción del grupo, es decir, ante las transformaciones de semejanza. Por otro lado, sabemos por Schur Lemma , que las únicas matrices que son invariantes bajo todas las transformaciones de semejanza son las proporcionales a la matriz unitaria. De manera equivalente, en términos del álgebra de Lie correspondiente $su(3)$, las únicas matrices que conmutan con todos los generadores de álgebra de Lie son las proporcionales a la matriz unitaria. Esta última condición puede verse como la restricción que solicita OP.

6. Finalmente mencionemos, que el$SU(3)_{\rm Flavor}$la simetría es solo una simetría aproximada en el modelo estándar, como es evidente a partir de las diferentes masas de mesones. El$SU(3)_{\rm Flavor}$la simetría se puede descomponer a través de reglas de ramificación en (fuerte)$SU(2)$ simetría isospín , véase, por ejemplo, el capítulo 10 de las notas de la conferencia de 't Hooft . El archivo pdf está disponible aquí .

La restricción en el estado singlete$\eta' = \frac{1}{\sqrt{3}}(u\bar u+d\bar d+s\bar s)$es que no tenga sabor, al igual que la restricción sobre el estado singlete para SU(2) es que no tiene momento angular.

Descomponer$3\times 3^* = 8 + 1$primero necesita saber cuáles son los irreps. Puede construirlos con operadores de subida y bajada como se hace con SU(2).

Si está familiarizado con la forma gráfica de construir y descomponer repeticiones para SU(2), encontrará que existe un método análogo para SU(3). Básicamente, las repeticiones parecen triángulos y hexágonos y hay una forma de multiplicarlas gráficamente. (Por supuesto, también puede descomponerlos con operadores de subida y bajada, pero le resultará tedioso para SU(3).) Este método le permite calcular con imágenes y muy rápidamente que, por ejemplo,$3\times 3^* = 8 + 1$y$3^*\times 3^* = 6^* + 3$. Por supuesto, en algún momento probablemente querrás aprender Young-tableau.

Evitaré escribir más detalles y dibujar imágenes y, en cambio, le proporcionaré una referencia que aclarará todo esto al nivel que está buscando. Ver Capítulo 4, sección 2.

Ta-Pei Cheng y Ling-Fong Li. Teoría de calibre de la física de partículas elementales

No es arbitrario, sino un resultado de la teoría de la representación de$SU(3)$. Los colores de los quarks forman un espacio vectorial$C^3$, y un par de antiquarks de quarks da un producto tensorial$C^3 \otimes (C^3)^* \sim C^{3\times 3}$, por lo tanto, está representado por matrices de 3 por 3, en las que$SU(3)$actúa por conjugación. Este es un espacio vectorial de 9 dimensiones que, como espacio de representación de$SU(3)$, es reducible.

De hecho, el espacio de matrices de 3 por 3 es una suma directa del espacio unidimensional de múltiplos de la identidad, en el que$SU(3)$actúa trivialmente, y el espacio de 8 dimensiones de matrices de traza cero, en el que$SU(3)$actos (ya que la conjugación preserva la ausencia de huellas). No es muy difícil mostrar que esta representación es de hecho irreductible.

Así la descomposición$3 \otimes 3^* = 1 + 8$en un singlete y un octeto no es arbitrario, sino que está determinado por las propiedades de$SU(3)$.

Es un análogo completo de la descomposición.$2 \otimes 2^* = 1 + 3$para$SU(2)$(es decir, girar).