Construcción explícita de (12,12)(12,12)(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) representación del grupo de Lorentz

Para la representación vectorial del grupo de Lorentz (en realidad el álgebra), el$J^1$generador es

$$J_1 = i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \tag1$$

mientras que lo que obtengo aplicando tratando de resolverlo desde el$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$la representacion es

$$J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}\tag2$$

Obviamente hay un error en mi cálculo, la pregunta es dónde y cómo rectificarlo. Así es como llegué al cálculo anterior.

Construir las representaciones irreductibles del grupo homogéneo de Lorentz, a partir del$J^{\mu\nu}$generadores, se define$\mathbf{J}=\{J^1,J^2,J^3\}$como$J^1 = J^{23}$y así sucesivamente por permutaciones cíclicas y$\mathbf{K} = \{K^1, K^2, K^3\}$como$K^i = J^{0i}$. Luego, definiendo

$$\mathbf{A}=\frac{1}{2}(\mathbf{J}+i\mathbf{K}), \mathbf{B}=\frac{1}{2}(\mathbf{J}-i\mathbf{K})\tag3$$

uno obtiene dos independientes$SU(2)$álgebras, ya que

$$[A_i,A_j]=i\epsilon_{ijk}A_k,\tag4$$

$$[B_i, B_j] = i\epsilon_{ijk} B_k,\tag5$$

$$[A_i, B_j]=0.\tag6$$

De este modo$\mathbf{A}$se puede representar mediante las matrices habituales de momento angular$\mathbf{J}^{(A)}_{a,a^\prime}$, dónde$A$es el valor máximo (entero o medio entero) y$a,a^\prime = -A,...,+A$. Del mismo modo para$\mathbf{B}$. Combinando los dos para el grupo de Lorentz, en términos de índices tenemos

$$(\mathbf{A})_{ab,a^\prime b^\prime} = \mathbf{J}^{(A)}_{aa^\prime} \delta_{bb^\prime}\tag7$$

$$(\mathbf{B})_{ab,a^\prime b^\prime} = \delta_{aa^\prime} \mathbf{J}^{(B)}_{bb^\prime}\tag8$$

Ahora aquí comienza mi problema. Según tengo entendido, en forma matricial estos dos son

$$\mathbf{A} = \mathbf{J}^{(A)} \otimes \mathbf{1}_{2b+1}\tag9$$

y

$$\mathbf{B} = \mathbf{1}_{2a+1} \otimes \mathbf{J}^{(B)}.\tag{10}$$

$\mathbf{1}$representa, por supuesto, la matriz unitaria de las dimensiones apropiadas y$\otimes$es el producto directo de la matriz.

Usando estas ecuaciones para$A=\frac{1}{2}=B$, el$J$son$\frac{1}{2}\sigma^i$, la mitad de las matrices de Pauli y lo que obtengo es

$$A_1 =\frac{1}{2}\sigma_1 \otimes \mathbf{1}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \tag{11}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\tag{12}$$

y de manera similar

$$B_1 = \mathbf{1}_2 \otimes \frac{1}{2}\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}\tag{13}$$

De las definiciones de$\mathbf{A}$y$\mathbf{B}$, ecuación (3),$\mathbf{J} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$, por lo tanto$J_1 = A_1 + B_1$y

$$J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}\tag{14}$$

que apenas se parece a la$J_1$para la representación vectorial.

En algún lugar a lo largo de la línea hay un error, pero no lo veo. Cualquier ayuda y consejo será muy apreciado.